Thêm bài tích phân

Question

Chứng minh rằng

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } \frac{\cos ^{2010}x}{\sin ^{2010}x + \cos ^{2010}x}dx = \frac{\pi}{4}.$

score 4 · Answer 1

Đặt:

$I=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^{2010}x}{\sin^{2010}x+\cos^{2010}x}dx, J=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^{2010}x}{\sin^{2010}x+\cos^{2010}x}dx$ .
Ta có:

$I+J=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}dx=\frac{\pi}{2}$ .
Đặt

$t=\frac{\pi}{2}-x$ . Suy ra:

$I= \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^0\frac{\cos^{2010}( \displaystyle\frac{\pi}{2}-t)}{\sin^{2010}(\displaystyle\frac{\pi}{2}- t)+\cos^{2010}(\displaystyle \frac{\pi}{2}-t)}d(\frac{\pi}{2}-t)$

$=\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^0\frac{-\sin^{2010}t}{\sin^{2010}t+\cos^{2010}t}dt$

$=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^{2010}t}{\sin^{2010}t+\cos^{2010}t}dt=J$
Từ đó, suy ra:

$I=J=\frac{\pi} {4}$ .

Các anh này giỏi,chăm và nhiệt tình quá – nguyenphuc423 10-10-12 06:11 PM

Tốc độ,chính xác – dat.to.hung.vuong94 10-10-12 05:48 PM

Hỏi	10-10-12 05:11 PM
Lượt xem	1583
Hoạt động	10-10-12 05:40 PM

Thêm bài tích phân

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Thêm bài tích phân

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan