Tìm GTLN của hàm số với điều kiện cho trước.

Question

Cho:

$\dfrac{1}{3}<x\leq\dfrac{1}{2}$ và

$y\geq 1$ .Tìm GTNN của:

$P=x^2+y^2+\dfrac{x^2y^2}{\left[\left(4x-1\right)y-x\right]^2}$

score 6 · Answer 1

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

Xét

$f(x)=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{(4xy-x-y)^2}, x\in(\frac{1}{3},\frac{1}{2}]$
Ta có:

$f'(x)=2x+\frac{2y^2x(4xy-x-y)^2-2x^2y^2(4xy-x-y)(4y-1)}{(4xy-x-y)^4}$

$=2x+\frac{-2xy^3}{(4xy-x-y)^3}$

$=\frac{2x[(4xy-x-y)^3-y^3]}{(4xy-x-y)^3}$
Mà ta có:

$4xy-x-2y=2y(2x-1)-x\le2(2x-1)-x=3x-2\le0$ , vì

$x\le\frac{1}{2}$

$4xy-x-y=y(4x-1)-x\ge(4x-1)-x=3x-1>0$ , vì

$x>\frac{1}{3}$
Vậy

$f'(x)\le0,\forall x\in(\frac{1}{3},\frac{1}{2}]$ .
Suy ra:

$P\ge f(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}+y^2+\frac{y^2}{(2y-1)^2}$
Xét:

$g(y)=\frac{1}{4}+y^2+\frac{y^2}{(2y-1)^2},y\ge 1$
Ta có:

$g'(y)=\frac{4y(y-1)(4y^2-2y+1)}{(2y-1)^3}\ge0,\forall y\ge 1$
Suy ra:

$P\ge g(1)=\frac{9}{4}$
Vậy Min

$P=\frac{9}{4} \Leftrightarrow x=\frac{1}{2},y=1$

Thế thì phải đợi học đạo hàm bạn nhé. – khangnguyenthanh 07-10-12 12:12 AM

Tại em chưa học nên không biết ạ :D – Xusint 07-10-12 12:09 AM

Nếu chưa học đạo hàm thì mình làm thế nào anh Khánh nhỉ? – Xusint 06-10-12 11:50 PM

score 4 · Answer 2

áp dụng BĐT Cauchy :

$\frac{x^{2}y^{2}}{\left[ {(4x-1)y-x} \right]^{2}}$ +

$\frac{(4x-1)y-x}{xy}$ +

$\frac{(4x-1)y-x}{xy}$

$\geq$ 3

$\Rightarrow$

$\frac{x^{2}y^{2}}{\left[ {(4x-1)y-x} \right]^{2}}$

$\geq$ 3-

$\frac{2\left[ {(4x-1)y-x} \right]}{xy}$ =-5+

$\frac{2}{x}$ +

$\frac{2}{y}$ (1)

$x^{2}$ +

$\frac{1}{8x}$ +

$\frac{1}{8x}$

$\geq$

$\frac{3}{4}$

$\Rightarrow$

$x^{2}$

$\geq$

$\frac{3}{4}$ -

$\frac{1}{4x}$ (2)

$y^{2}$ +

$\frac{1}{y}$ +

$\frac{1}{y}$

$\geq$ 3

$\Rightarrow$

$y^{2}$

$\geq$ 3-

$\frac{2}{y}$ (3)

cộng từng vế của (1)(2)(3)

$\Rightarrow$ P

$\geq$

$\frac{-5}{4}$ +

$\frac{7}{4x}$

do x

$\geq$

$\frac{1}{2}$

$\Rightarrow$

$\frac{7}{4x}$

$\geq$

$\frac{7}{2}$

$\Rightarrow$ P

$\geq$

$\frac{9}{4}$

Hỏi	06-10-12 09:46 PM
Lượt xem	2561
Hoạt động	14-02-16 03:52 PM

Tìm GTLN của hàm số với điều kiện cho trước.

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Tìm GTLN của hàm số với điều kiện cho trước.

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan