tích phân

Đặt
$\begin{cases}u=\frac{1+\sin x }{1+\cos x } \\ dv=e^xdx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=\frac{1+\sin x+\cos x }{(1+\cos x)^2 } \\ v=e^x \end{cases}$.
Theo công thức TPTP, ta có
$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}udv=uv |_0^{\pi/2}- \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}vdu=\frac{1+\sin x }{1+\cos x }. e^x |_0^{\pi/2} - \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\sin x+\cos x }{(1+\cos x)^2 }. e^x dx$
$=2e^{\pi/2}-\frac{1}{2}-\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{ e^x }{1+\cos x} dx-\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{ e^x\sin x }{(1+\cos x)^2 } dx      (1)$
Với tích phân $I_1=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{ e^x\sin x }{(1+\cos x)^2 } dx$ ta lại đặt
$\begin{cases}u=e^x \\ dv=\frac{ \sin x }{(1+\cos x)^2 } dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=e^xdx \\ v=\frac{1}{1+\cos x} \end{cases}$.
Theo công thức TPTP, ta có
$I_1=\frac{e^x}{1+\cos x}|_0^{\pi/2}-\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{ e^x }{1+\cos x} dx =e^{\pi/2}-\frac{1}{2}-\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{ e^x }{1+\cos x} dx         (2)$
 Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\boxed{I=e^{\pi/2}}$.