chứng minh bất đẳng thức

Question

a) Cho

$x,y\in [0;1]$ . Chứng minh rằng

$2\sqrt{(x^2-1)(y^2-1)}\leq 2(x-1)(y-1)+1$
b)

$\frac{a^4+b^4}{a^2+b^2}+\frac{b^4+c^4}{b^2+c^2}+\frac{c^4+a^4}{c^2+a^2}\ge\ a+b+c$
c)

$a, b \ge 0$ .CM

$\frac{{(a + b)^2 }}{2} + \frac{{a + b}}{4} \ge a\sqrt b + b\sqrt a$
d)

$x\not= 0, y \not= 0$ . CM

$\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4 \ge 3 \left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )$
e)

$\sum |b+c-a| \ge \max\left\{ {\sum|a| , \sum|b-c|} \right\}$
f)

$x,y,z >0$ thỏa mãn

$x+y+z=1$ .CM

$\sum \frac{x^{3}}{x^{2}+yz}\geq \frac{1}{2}$
g)

$a,b,c >0,$

$ab+bc+ca=1$ .CM

$\sum \frac{x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3}{2}$
h)

$(n+1)^{n+1} \le 4n^{n+1}$

score 6 · Answer 1

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

h) Với

$n=1$ và

$n=2$ BĐT đúng.
Với

$n\geq3$ ta có

$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)<3\left(1+\frac{1}{n}\right)\leq4$

score 6 · Answer 2

g)

$\sum \frac {x ^ {4} + x ^ {2} y ^ {2} + y ^ {4}} {x ^ {2} + y ^ {2}} \geq \frac {3} { 2}$

Ta có

$\sum x^2 \ge \sum xy =1$

$\sum \frac {x ^ {4} + x ^ {2} y ^ {2} + y ^ {4}} {x ^ {2} + y ^ {2}}= \sum (x^2 + \sum \frac {x ^ {4} } {x ^ {2} + y ^ {2}}) \ge \sum x^2+ \frac {\sum x^2} {2}= \frac {3} { 2} (\sum x^2) \geq \frac {3} { 2}$

score 6 · Answer 3

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

f) Theo BĐt Cô-si

$\frac{x^3}{x^2+yz}=x-\frac{xyz}{x^2+yz}\geq x-\frac{xyz}{2x\sqrt{yz}}=x-\frac{\sqrt{yz}}{2}\geq x-\frac{y+z}{4}$
Suy ra

$\sum_{cyc}\frac{x^3}{x^2+yz}\geq x+y+z-\frac{2}{4}(x+y+z)=\frac{1}{2}(x+y+z)=\frac{1}{2}$
Dấu bằng

$\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$ .

score 6 · Answer 4

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

e) Bài này đơn giản chỉ cần áp dụng

$|b+c-a|+|b+a-c| \geq |(b+c-a)+(b+a-c)|$
và:

$|b+c-a|+|b+a-c| \geq | (b+c-a)-(b+a-c) |$

score 6 · Answer 5

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

d) Đặt

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=t$ , PT

$\Leftrightarrow t^{2}-2+4\geq 3t\Leftrightarrow (t-1)(t-2)\geq 0$ , luôn đúng.

score 8 · Answer 6

c) Ta có

$2(a+b) \geq (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$ .
Do đó

$2(a+b)^2 + (a+b) \geq \frac {1} {2} (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 ( (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 + 1) \geq (\sqrt{a} + \sqrt{b})^3$ , vì nó tương với

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2( (\sqrt{a} + \sqrt{b}) - 1)^2 \geq 0$ .
Mặt khác

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^3 = a\sqrt{a} + 3(a\sqrt{b} + b\sqrt{a}) + b\sqrt{b} \geq 4(a\sqrt{b} + b\sqrt{a})$ , do

$(a\sqrt{a}+b\sqrt{b})(a\sqrt{a}-b\sqrt{b})^2 \geq 0$

score 8 · Answer 7

Bình chọn tăng 8 Bình chọn giảm

b) BĐT sai với

$a=b=c=0.5$

Đức Vỹ · Answer 8 · 10/5/2012 5:10:26 PM

Do

$xy\in [0;1]$
Đặt

$x=\sin a; y=\sin b; a,b \in [0;{\pi} ]$ khi đó BĐT đã cho tương đương với

$2\cos a.\cos b\leq 2(\sin a-1)(\sin b-1)+1$

$\Leftrightarrow 2\cos a.\cos b-2\sin a\sin b+2(\sin a+\sin b)-3\leq 0$

$\Leftrightarrow 2\cos (a+b)+4\sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2}-3\leq 0$

$\Leftrightarrow 2.(1-2\sin^2\frac{a+b}{2} )+4\sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2}-3\leq 0$

$\Leftrightarrow -1-4\sin^2\frac{a+b}{2} +4|\sin \frac{a+b}{2} |-4|\sin \frac{a+b}{2} |+4\sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2}\leq 0$

$\Leftrightarrow -(1-2|\sin \frac{a+b}{2}|)^2-(4|\sin \frac{a+b}{2} |-4\sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2})\leq 0$ (hiển nhiên đúng) đpcm

Theo mình nghĩ a,b \in [0, \pi/2] thì lúc đó vế trái mới = 2 cosa cos b. Nếu không nó chỉ bằng 2|cos a cos b|

score 11 · Answer 9

Từ

$x, y \in [0;1]$ ta có thể đặt

$x = \sin a , y = \sin b$ với

$a, b \in [0, \frac{\pi}{2}]$
BĐT cần chứng minh

$\iff 2 \cos a \cos b \le 2( 1 - \sin a )( 1- \sin b ) +1$

$\iff 2\cos a \cos b \le 2\sin a \sin b -2( \sin a + \sin b ) +3$

$\iff 2( -\cos a \cos b + \sin a \sin b ) - 2( \sin a + \sin b ) + 3 \ge 0$

$\iff - 2 \cos (a+b) - 4 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} + 3 \ge 0$

$\iff 2( 2 \sin^2 \frac{a+b}{2} -1 ) - 4 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} +3 \ge 0$

$\iff \sin^2 \frac{a+b}{2} - \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} + \frac{1}{4} \ge 0 (1)$
Chú ý rằng

$\begin{cases} \sin \frac{a+b}{2} \ge 0 \\ 0 \le \cos \frac{a-b}{2} \le 1 \end{cases}$
Do đó Vế trái

$(1) \ge \sin^2 \frac{a+b}{2} - \sin \frac{a+b}{2} + \frac{1}{4} = (\sin \frac{a+b}{2} - \frac{1}{2})^2 \ge 0 =$ Vế phải

$(1)$ , đây là đpcm.

A.Tân luôn giúp mọi người mà,có bài khó nhào zô hết
Dùng lượng giác chứng mình BĐT ,toán học đúng là biến ảo khôn lường
Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks!

Hỏi	05-10-12 04:20 PM
Lượt xem	8983
Hoạt động	31-10-12 08:57 PM

chứng minh bất đẳng thức

9 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

chứng minh bất đẳng thức

9 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan