|
|
Bạn xem cách giải này tự nhiên hơn nhé
$\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}=\frac{1-y}{\sqrt{y}}+\frac{1-x}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{x}} -(\sqrt{x}+\sqrt{y})$
$=\frac{1}{\sqrt{y}}+2\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{x}}+2\sqrt{y} -3(\sqrt{x}+\sqrt{y}) (*)$
Áp dụng BĐT Cô-si ta được
$\frac{1}{\sqrt{y}}+2\sqrt{y} \ge 2\sqrt 2 (1)$
$\frac{1}{\sqrt{x}}+2\sqrt{x} \ge 2\sqrt 2 (2)$
Mặt khác $(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 \le 2(x+y)=2 \Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y} \le \sqrt 2 (3)$
Từ $(*), (1), (2), (3)$ ta có
$\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}} \ge2 \sqrt 2 +2\sqrt 2 -3\sqrt 2 =\sqrt 2 $
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$
|