Chứng minh hệ bất phương trình có nghiệm

Question

Cho

$a, b, c$ thoả mãn

$|a|+|b|+|c|>17$ . Chứng minh rằng hệ

$\begin{cases}|ax^2+bx+c|>1\\0\leq x\leq 1\end{cases}$ có nghiệm

mình nghĩ đề bài là như thế kia mới đúng.
:) Bạn đăng bài khác lên thay chỗ cho bài này mình cùng thảo luận nhé. Bọn mình không muốn tự nhiên bỏ đi bài nào của các bạn cả :)
uk ! cảm ơn bạn đã quan tâm giúp mình. Nhưng đề bài nó chỉ có nv ^_^ thôi bỏ bài này đy bạn
Chứng minh rằng hệ này như nào mới được chứ :) Mình không thấy yêu cầu của đề bài.
Nếu sai đề bạn co thể sửa giúp mình được không ?
Bạn ơi đề bài của mình cho có mỗi nv thôi ak :(

score 4 · Answer 1

Giả sử hệ vô nghiệm, tức

$|ax^2+bx+c|\le 1, \forall 0\le x\le1$
Thay

$x=0$ ta có:

$|c|\le 1$
Thay

$x=1$ ta có:

$|a+b+c|\le 1$
Thay

$x=\frac{1}{2}$ ta có:

$|\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+c| \le 1$
Đặt:

$x=a+b+c,y= \frac{a}{4}+\frac{b}{2}+c$
Suy ra:

$a=2x-4y+2c,b=4y-x-3c$ .
Từ đó:

$|a|+|b|+|c|=|2x-4y+2c|+|4y-x-3c|+|c|$

$\le 2|x|+4|y|+2|c|+4|y|+|x|+3|c|+|c|\le 17$ (mâu thuẫn)
Vậy suy ra hệ đã cho có nghiệm.

rất là thanks bạn đã quan tâm giúp đỡ – toiditimtoan 29-09-12 07:06 PM

1 Đáp án