Tích phân chứa logarit và lượng giác

Question

giả sử

$f(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn

$[a,b]$ . Chứng minh rằng:

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(a+b-x)dx$ . Áp dụng tính

$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\ln (1+\tan x)dx$

score 8 · Answer 1

Đặt

$t=a+b-x \implies dt=-dx$
Khi

$x=a \Rightarrow t=b, x=b \Rightarrow t=a$ .
Như vậy

$\int\limits_{a}^{b}f(a+b-x)dx=-\int\limits_{b}^{a}f(t)dt=\int\limits_{a}^{b}f(t)dt=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$ (đpcm).
Áp dụng ta có

$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\ln (1+\tan x)dx$

$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\ln (1+\tan \left (\frac{\pi}{4} -x\right ))dx$

$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\ln (1+\frac{1-\tan x}{1+\tan x})dx$

$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\ln (\frac{2}{1+\tan x})dx$

$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\ln 2dx-\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\ln (1+\tan x)dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\ln 2dx-I$

$\implies 2I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\ln 2dx \implies I=\frac{\pi}{8}\ln 2$

1 Đáp án