Xét PT tương giao $x^4+(m-2)x^2-m+1 =0$
Gọi $x_1<x_2<x_3<x_4$ là hoành độ của $4$ điểm mà hàm số cắt trên trục hoành.
Yêu cầu bài toán (YCBT) tương đương với $x_2-x_1=x_3-x_2=x_4-x_3$
Đặt $t=x^2 \implies f(t)=t^2+(m-2)t-m+1 =0 (1)$
Như vậy YCBT $\Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm dương phân biệt $t_2>t_1>0$, lúc đó giả sử
$x_1=-\sqrt{t_2}, x_2=-\sqrt{t_1}, x_3=\sqrt{t_1}, x_4=\sqrt{t_2}$
và thỏa mãn $-\sqrt{t_1}+\sqrt{t_2}=\sqrt{t_1}--\sqrt{t_1}=\sqrt{t_2}-\sqrt{t_1}\Leftrightarrow \sqrt{t_2}=3\sqrt{t_1}\Leftrightarrow t_2=9t_1$
Vậy tóm lại TCBT $\Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm dương phân biệt $t_2>t_1>0$ sao cho $t_2=9t_1$ .
$\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta >0 \\t_2=9t_1 \\-\frac{b}{a}=t_1+t_2=10t_1 >0\\\frac{c}{a}=t_1t_2=9t_1^2 >0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m^2 >0 \\t_2=9t_1 \\2-m=10t_1 >0\\1-m=9t_1^2 >0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}m \ne 0 \\ m<1 \end{cases}$
Từ $\begin{cases}2-m=10t_1\\ 1-m=9t_1^2 \end{cases} \Rightarrow\begin{cases}t_1=\frac{2-m}{10}\\ t_1^2 =\frac{1-m}{9} \end{cases}\Rightarrow \left (\frac{2-m}{10}\right )^2=\frac{1-m}{9}\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} m=-8\\ m=\frac{8}{9}\end{matrix}} \right.$