|
|
Xét PT tương giao
$\frac{x+1}{2x+1}=mx+\frac{m+1}{2}\Leftrightarrow 4mx^2+4mx+m-1=0\Leftrightarrow m(2x+1)^2=1$.
Từ đây ta cần điều kiện $m>0$ để hai điểm $B, C$ tồn tại phân biệt.
Như vậy ta có
$x_B=\frac{1-\sqrt m}{2 \sqrt m}, x_C=\frac{-1-\sqrt m}{2 \sqrt m}$.
Thay tọa độ $B, C$ và PT đường thẳng $(d)$ ta có
$y_B=\frac{1+\sqrt m}{2 \sqrt m}, y_C=\frac{1-\sqrt m}{2 \sqrt m}$.
Suy ra
$OB^2+OC^2=x_B^2+y_B^2+x_C^2+y_C^2=\frac{m+1}{2m}+\frac{m+1}{2}=\frac{(m+1)^2}{2m}=\frac{(m-1)^2}{2m}+2 \ge 2.$
Như vậy giá trị nhỏ nhất của $OB^2+OC^2$ bằng $2$ đạt được khi và chỉ khi $m=1$.
|