Tìm m...........đố các mem bài này

Question

Cho hàm số:

$y=\frac{x+1}{2x+1}$ có đồ thị

$(C)$ . Tìm

$m$ để đường thẳng

$(d): 2mx-2y+m+1=0$ cắt

$(C)$ tại

$A, B$ sao cho

$OA^2+OB^2$ nhỏ nhất

score 5 · Answer 1

Xét PT tương giao

$\frac{x+1}{2x+1}=mx+\frac{m+1}{2}\Leftrightarrow 4mx^2+4mx+m-1=0\Leftrightarrow m(2x+1)^2=1$ .
Từ đây ta cần điều kiện

$m>0$ để hai điểm

$B, C$ tồn tại phân biệt.
Như vậy ta có

$x_B=\frac{1-\sqrt m}{2 \sqrt m}, x_C=\frac{-1-\sqrt m}{2 \sqrt m}$ .
Thay tọa độ

$B, C$ và PT đường thẳng

$(d)$ ta có

$y_B=\frac{1+\sqrt m}{2 \sqrt m}, y_C=\frac{1-\sqrt m}{2 \sqrt m}$ .
Suy ra

$OB^2+OC^2=x_B^2+y_B^2+x_C^2+y_C^2=\frac{m+1}{2m}+\frac{m+1}{2}=\frac{(m+1)^2}{2m}=\frac{(m-1)^2}{2m}+2 \ge 2.$
Như vậy giá trị nhỏ nhất của

$OB^2+OC^2$ bằng

$2$ đạt được khi và chỉ khi

$m=1$ .

Hãy ấn nút tam giác màu xanh bên cạnh đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 25-09-12 12:57 AM

1 Đáp án