|
|
Xét hàm số $f(t)=t^3-3t^2+6t-6=(t-1)^3+3t-5$
Do $f'(t)=3t^2-6t+6>0$ nên $f(t)$ là hàm đồng biến trên toàn R.
Nên ta có:
Nếu $f(t)>t$ thì $f(f(f(t)))>f(f(t))>f(t)>t$
Nếu $f(t)<t$ thì $f(f(f(t)))<f(f(t))<f(t)<t$
Nếu $f(t)=t$ thì $f(f(f(t)))=f(f(t))=f(t)=t$
Nên ta có:
$(I) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x)=y\\ f(y)=z\\f(z)=x \end{array} \right. \Rightarrow f(f(f(x)))=x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x)=y\\ f(y)=z\\f(z)=x \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=y=z\\ f(x)=x \end{array} \right.$
Dễ thấy $f(x)-x$ là hàm đồng biến do đạo hàm luôn dương.
Và $f(2)=2$ nên $x=2$ là nghiệm duy nhất của phương trình.
Nên $x=y=z=2.$
Vậy hệ đã cho có một nghiệm duy nhất là $x=y=z=2$
|