GTLN- GTNN

Question

Tìm GTLN, GTNN của hàm số :

$y=x^6+4(1-x^2)^3 ; x\in (-1;1)$

vừa nhiều cách lại còn nhanh nữa chứ !công nhận bài này hay thật đấy.
Chẳng hiểu sao lại nghĩ ra đc nhiều cách thế nhỉ?
Mình là mem mới! Rất mong mọi người nhiệt tình giải giúp !

score 13 · Answer 1

Vì

$x\in(-1,1)$ nên

$\exists t\in\Big(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\Big)$ sao cho:

$x=\sin t$ .
Ta có:

$y=\sin^6t+4(1-\sin^2t)^3=\sin^6t+4\cos^6t$ .
*) Tìm Max y:
Ta có:

$y=\sin^6t+4\cos^6t\le\sin^2t+4\cos^2t\le 4(\sin^2t+\cos^2t)=4$ .
Dấu bằng xảy ra khi:

$x=\sin t=0$ .

*) Tìm Min y:
Áp dụng Bất dẳng thức Cô-si ta có:

$\sin^6t+\frac{8}{27}+\frac{8}{27}\ge\frac{4}{3}\sin^2t\Rightarrow\sin^6t+\frac{16}{27}\ge\frac{4}{3}\sin^2t$

$\cos^6t+\frac{1}{27}+\frac{1}{27}\ge\frac{1}{3}\cos^2t \Rightarrow4\cos^6t+\frac{8}{27}\ge\frac{4}{3}\cos^2t$
Từ đó suy ra:

$y+\frac{24}{27}\ge\frac{4}{3}(\sin^2t+\cos^2t)=\frac{4}{3}\Rightarrow y\ge\frac{4}{9}$ .
Dấu bằng xảy ra khi:

$\sin^2t=\frac{2}{3}$ hay

$x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$

score 8 · Answer 2

Bình chọn tăng 8 Bình chọn giảm

Ta sẽ dùng phương pháp sử dụng chiều biến thiên của hàm số để giải bài toán này.
Đặt

$f(x) = x^6+4(1-x^2)^3 ; x\in (-1;1)$

$f'(x)=6x^5-24x(1-x^2)^2=6x(2-x^2)(3x^2-2)$
Nhận thấy

$x\in (-1;1) \implies x^2 <1 \implies 2-x^2>0$
Do đó

$f'(x)=0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=0\\ x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}} \end{matrix}} \right.$
Lập bảng biến thiên thì ta được kết quả :

$\max_{(-1,1)} y=f(0)=4$

$\min_{(-1,1)} y=f\left ( \pm \sqrt{\frac{2}{3}} \right )=\frac{4}{9}$

Nếu bạn thấy lời giải này chính xác và có ích đối với bạn. Hãy ấn vào mũi tên bên cạnh đáp án để bình chọn( vote up ) nhé! – Trần Nhật Tân 26-09-12 07:58 AM

Hỏi	19-09-12 09:10 PM
Lượt xem	3955
Hoạt động	19-09-12 10:08 PM

GTLN- GTNN

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

GTLN- GTNN

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan