Hình học phẳng

Question

Trong đường tròn tâm $O$, bán kính $R$, cho điểm $P$ cố định. Vẽ hai dây cung $AC, BD$ lưu động nhưng chúng luôn luôn qua $P$và vuông góc với nhau.
a) Chứng minh $AC^2+BD^2=PA^2+PB^2+PC^2+PD^2=4R^2$
b) Chứng minh $BD=2OI (I$ là trung điểm của $AC)$.
c) Suy ra $OI^2+IP^2=R^2$. Tìm tập hợp các điểm $I$.

score 2 · Answer 1

a) Gọi $C_1$ là điểm đối xứng của $C$ qua $O    \Rightarrow      C_1D \bot DC, DC \bot AB$
$\Rightarrow     C_1D\parallel AB     \Rightarrow     BD=AC_1$
$\Rightarrow     BD^2+AC^2=AC_1^2+AC^2=CC_1^2=4R^2$
Ta có: $(PA^2+PC^2)+(PB^2+PD^2)=AC^2+BD^2=4R^2$.

b) Do $OI=\frac{1}{2}AC_1=\frac{1}{2}BD     \Rightarrow    BD=2OI.$

c) Ta có: $OI^2+IP^2=\frac{1}{4}BD^2+\frac{1}{4}AC^2=R^2 $
$\Rightarrow    2IQ^2+\frac{1}{2}OP^2=R^2 $
$\Leftrightarrow    IQ^2=\frac{1}{4}(2R^2-OP^2) $
($Q$ là trung điểm của $PO$)
$\Leftrightarrow    QI=\frac{1}{2} \sqrt{2R^2-OP^2} $
Vậy tập các điểm $I$ là đường tròn tâm $Q$, bán kính bằng $\frac{\sqrt{2R^2-OP^2} }{2}. $

Hỏi	23-08-12 11:59 AM
Lượt xem	1911
Hoạt động	23-08-12 09:58 PM

Hình học phẳng

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Hình học phẳng

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan