|
|
Từ giả thiết suy ra $\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{BC} $ là hai vec-tơ không cùng phương. Do vậy:
$1)$ Ta có: $(x+y-2)\overrightarrow{AB} +(x-2y)\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \begin{cases}x+y-2=0 \\ x-2y=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x+y=2 \\ x-2y=0 \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{4}{3} \\ y=\frac{2}{3} \end{cases} $.
Vậy $(x=\frac{4}{3}; y=\frac{2}{3} )$ là cặp số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
$2)$ Ta có: $(x^2-9)\overrightarrow{AB} +(x+y+1)\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}x^2-9=0 \\ x+y+1=0 \end{cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{align}
\left\{ \begin{array}{l} x=3\\ y=-4 \end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l} x=-3\\ y=2 \end{array} \right.
\end{align} \right.$
Đó là tập hợp cặp số $(x, y)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
$3)$ Ta có: $(x+y+a-1)\overrightarrow{AB} +(2xy-5-a-2a)\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}x+y+a-1=0 \\ 2xy-5-a^2-2a=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x+y=1-a \\ 2xy=a^2+2a+5 \end{cases} (2)$
Hệ $(2)$ có nghiệm khi và chỉ khi $S^2 \geq 4P \Leftrightarrow (1-a)^2 \geq 2(a^2+2a+5) \Leftrightarrow (a+3)^2 \leq 0$
Bởi thế nên:
$* a \neq -3, (2)$ vô nghiệm.
$* a = -3$, ta có $(2) \Leftrightarrow \begin{cases}x+y=4 \\ xy=4 \end{cases} \Leftrightarrow x=y=2$
Tóm lại $ a \neq -3$, không tồn tại cặp số $(x; y)$ thỏa mãn hệ thức đã cho.
$a=-3, (x,y)=(2;2)$ là cặp số duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.
|