|
|
ĐK cần: Cho $\div (u_n): a=u_1+md; b=u_1+nd; c=u_1+kd$
Nếu ta chọn $p=n-k; q=k-m; r=m-n$ thì ta sẽ có:
$p+q+r=0$ và $ap+bq+cr=(u_1+md)(n-k)+(u_1+nd)(k-m)+(u_1+kd)(m-n)$
$= u_1(n-k+k-m+m-n)+d(mn-mk+nk-mn+mk)$
$=u_1.0+d.0=0$
Đây chính là $3$ số $p,q,r$ cần tìm.
ĐK đủ: Trong ba số $a,b,c$ ta giả sử $c$ bé nhất sao cho:
$\begin{cases}p+q+r=0 (1)\\ ap+bq+cr=0 (2) \end{cases} $
Từ $(1) \Rightarrow q=-p-r$
Từ $(2) \Rightarrow ap+b(-q-r)+cr=0$
$\Rightarrow p(a-b)=r(b-c)$
$\Rightarrow \frac{a-b}{r}=\frac{b-c}{p} =d $
$\Rightarrow a=b+dr$
$\Rightarrow b=c+pd; a=c+(r+p)d$
Vậy $a, b$ được xem lần lượt là số hạng thứ $r+p+1; p+1$ của một cấp số cộng có số hạng đầu tiên là $c$ và công sai $d$.
|