Giải hệ phương trình

Question

Giải hệ phương trình sau:

$\left\{ \begin{array}{l} 4x^2+y^4-4xy^3=1\\ 2x^2+y^2-2xy=1 \end{array} \right.$

score 2 · Answer 1

Lấy phương trình thứ nhất trừ đi 2 lần phương trình thứ hai ta được:

$y^4-2y^2-4xy^3+4xy+1=0\Leftrightarrow (y^2-1)^2-4xy(y^2-1)=0$

$\Leftrightarrow (y^2-1)(y^2-1-4xy)=0$

$\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l} y=1\\ y=-1 \\y^2-1-4xy=0\end{array} \right.$

$\bullet$ Nếu

$y=1$ , thay vào phương trình đầu tiên ta được:

$4x^2+1-4x=1\Leftrightarrow 4x(x-1)=0$

$\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l} x=0\\ x=1 \end{array} \right.$ (thỏa mãn)

$\bullet$ Nếu

$y=-1$ , thay vào phương trình đầu tiên ta được:

$4x^2+1+4x=1\Leftrightarrow 4x(x+1)=0$

$\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l} x=0\\ x=-1 \end{array} \right.$ (thỏa mãn)

$\bullet$ Nếu

$y^2-1-4xy=0\Leftrightarrow x=\frac{y^2-1}{4y}$ (dễ thấy là

$y\ne0$ ).
Thay vào phương trình thứ hai ta được:

$2\Big(\frac{y^2-1}{4y}\Big)^2+y^2-2\Big(\frac{y^2-1}{4y}\Big)y=1\Leftrightarrow 2(y^2-1)^2+16y^4-8(y^2-1)y^2=16y^2$

$\Leftrightarrow 2(y^2-1)(5y^2-1)=0$

$\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l} y=1\\ y=-1\\y=\frac{1}{\sqrt5}\\y=\frac{-1}{\sqrt5} \end{array} \right.$
Với

$y=1\Rightarrow x=0$ , thỏa mãn.
Với

$y=-1\Rightarrow x=0$ , thỏa mãn.
Với

$y=\frac{1}{\sqrt5}\Rightarrow x=\frac{-1}{\sqrt5}$ , thỏa mãn.
Với

$y=\frac{-1}{\sqrt5}\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt5}$ , thỏa mãn.

Vậy nghiệm của hệ là:

$(x,y)\in\{(0;1),(1;1),(0;-1),(-1;-1),(\frac{1}{\sqrt5};\frac{-1}{\sqrt5}),(\frac{-1}{\sqrt5};\frac{1}{\sqrt5})\}$

1 Đáp án