Phương trình mặt phẳng

Question

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng $(d)$ và mặt phẳng $(Q)$ có phương trình :
$(d): \begin{cases}x+y-2=0 \\ y+z-2=0 \end{cases} ; (Q): x-2y-2z+2=0 $
Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $(d)$ và tạo với mặt phẳng $(Q) 1$ góc $\alpha$ với $\sin \alpha =\sqrt{\frac{5}{6} }$

score 2 · Answer 1

Gọi $\overrightarrow{n}_Q $ là một vectơ pháp tuyến của (Q), khi đó $\overrightarrow{n}_Q=(1; 2; -2) $
Gọi (P) là mặt phẳng cần xác định
Vì (P) chứa (d) $\Rightarrow $ (P) thuộc chùm mặt phẳng xác định bởi trục (d) có dạng:
$$(P): A(x+y-2)+B(y+z-2)=0$$
$\Leftrightarrow (P) : Ax+(A+B)y+Bz-2A-2B=0 (1)$
Khi đó (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}_P=(A; A+B; B) $
Hai mặt phẳng (P) và (Q) tạo với nhau một góc $\alpha$ khi và chỉ khi:
$$\frac{|\overrightarrow{n}_P.\overrightarrow{n}_Q |}{|\overrightarrow{n}_P| .|\overrightarrow{n}_Q | }=\cos \alpha \Leftrightarrow \frac{|A.1+(A+B).2+B(-2)|}{\sqrt{1+4+4 }.\sqrt{ A^2+(A+B)^2+B^2} } =\sqrt{1-\sin^2\alpha } $$
$\Leftrightarrow 2A^2-AB-B^2=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B=A\\B=-2A\end{array} \right.$
+) Với $B=A$ thay vào (1) được (P): $x+2y+z-4=0$
+) Với $B=-2A$ thay vào (1) được (P): $x-y-2z+2=0$

Hỏi	12-07-12 11:15 PM
Lượt xem	2156
Hoạt động	12-07-12 11:40 PM

Phương trình mặt phẳng

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Phương trình mặt phẳng

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan