|
|
Hàm số $y = x\ln x$ liên tục và không âm trên đoạn $\left[ {1,e} \right]$, thể tích khối tròn xoay sinh ra cho bởi công thức :
$V = \pi \int\limits_1^e {f{{(x)}^2}dx} $,
suy ra
$V = \pi \int\limits_1^e {{x^2}{{\ln }^2}xdx} $
Đặt $u = {\ln ^2}x\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,du = 2\ln xdx$
$dv = \,\,\,{x^2}dx\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,v = \frac{{{x^3}}}{3}$
Suy ra $V = \pi \left[ {\frac{{{x^3}}}{3}{{\ln }^2}x} \right]_1^e - \frac{2}{3}\pi \int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx} $
Đặt $u = \ln x\,\,\, \Rightarrow \,\,\,du\,\, = \,\,\frac{{dx}}{x}$
$dv = \,\,\,{x^2}dx\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,v = \frac{{{x^3}}}{3}$
Suy ra: $\int\limits_1^e {{x^2}{{\ln }^2}xdx} =
\left[{\frac{{{x^3}}}{3}\ln x} \right]_1^e - \frac{1}{3}\int\limits_1^e
{{x^2}dx} = \frac{{{e^3}}}{3} - \frac{1}{9}\left( {{e^3} - 1} \right)$
Từ đó: $V = \frac{\pi }{{27}}\left( {7{e^3} - 2} \right)\,\,\,\,dvtt$.
|