|
|
Hệ đã cho: $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt x+\sqrt y=3 (1)\\ \sqrt{x+5}+\sqrt{y+3}\le a (2) \end{array} \right.$
Hệ có nghiệm $(x,y)$ thỏa mãn điều kiện $x\geq 4$
$\Leftrightarrow (2)$ có nghiệm thỏa mãn $(1)$ và $x\geq 4$.
Từ $(1)$ đặt $t=\sqrt{x}$, điều kiện $2\leq t\leq 3$, ta được:
$\sqrt{y}=3-t\Rightarrow y=(3-t)^2$.
Khi đó:
$(2)\Leftrightarrow \sqrt{t^2+5} + \sqrt{3+(3-t)^2}\leq a$.
Xét hàm số $y=f(t)=\sqrt{t^2+5} + \sqrt{3+(3-t)^2}$.
-Miền xác định $D=[2,3]$.
-Đạo hàm:
$y^'=\frac{t}{\sqrt{t^2+5}}+\frac{t-3}{ \sqrt{3+(3-t)^2}}$,
$y^'=0\Leftrightarrow \frac{t}{\sqrt{t^2+5}}+\frac{t-3}{ \sqrt{3+(3-t)^2}}=0$
$\Leftrightarrow t\sqrt{3+(3-t)^2}=(3-t)\sqrt{t^2+5}$
$\Leftrightarrow t^2(3+(3-t)^2)=(3-t)^2(t^2+5)$
$\Leftrightarrow 3t^2=5(3-t)^2$ vô nghiệm trong đoạn $[2;3]$
mà $y^'(3)>0$ nên $y^'>0 \forall t\in D\Leftrightarrow $ hàm số đồng biến .
Vậy, bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi :
$\min y\leq a\Leftrightarrow y(2)\leq a\Leftrightarrow a\geq 5$.
|