|
|
$1)$
TXĐ: R.
Đặt $f(x) = {2^x} + x - 3$
Ta có $f(1) = 0 \Rightarrow x = 1$ là $1$ nghiệm.
Cho $x_1>x_2\in R\Rightarrow 2^{x_1}>2^{x_2}\Rightarrow 2^{x_1}+x_1-3>2^{x_2}+x_2-3$
$\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ suy ra hàm f đồng biến trên R.
Khi $x > 1\,\,\, \Rightarrow \,\,{2^x} > 2 \Rightarrow {2^x} + x - 3 > 0 \Rightarrow $$(1)$ vô nghiệm
Khi $x < 1\,\, \Rightarrow \,\,{2^x} < 2\,\,\, \Rightarrow {2^x} + x - 3 < 0 \Rightarrow (1)$ vô nghiệm
Vậy $(1)$ có nghiệm duy nhất $x = 1$.
$2)$
Do $12^x>0$, chia cả 2 vế phương trình cho $12^x$ ta được
$\left (\frac{3}{12} \right )^x+\left (\frac{4}{12} \right )^x+1=\left (\frac{13}{12} \right )^x$
$\Leftrightarrow 4^{-x}+3^{-x}+1=\left (\frac{13}{12} \right )^x$
Đặt $f(x)=3^{-x}+4^{-x}+1$ ; $g(x)=\left (\frac{13}{12} \right )^x$
Xét $f'(x)=-3^{-x}.\ln3-4^{-x}.\ln4<0\forall x\Rightarrow $ f(x) nghịch biến trên R
$g'(x)=\left (\frac{13}{12} \right )^x.\ln\left (\frac{13}{12} \right )\forall x\Rightarrow $ g(x) đồng biến trên R
Suy ra phương trình $f(x)=g(x)$ có nghiệm duy nhất.
Ta có $f(2)=g(2)\Rightarrow x=2$ là 1 nghiệm của phương trình.
Vậy $(2)$ có nghiệm duy nhất $x = 2$
|