bất phương trình

Question

Tìm các giá trị của

$k$ để :

$k.25^x - 5^x- \left( {k + 1} \right) > 0 (1)$ có nghiệm.

score 5 · Answer 1

Đặt

$t = {5^x},t > 0$

$(1) \Leftrightarrow k{t^2} - t - k - 1 > 0\,\,\,\,(2)$
- Nếu

$k = 0:\,\,\, - t - 1 > 0\,\, \Leftrightarrow t < - 1$

$(2)$ không có nghiệm dương nên

$(1)$ vô nghiệm.
- Nếu

$k \ne 0\,:\,\,k{t^2} - t - k - 1 = 0\,\,\,\,$ có

$2$ nghiệm

$t = - 1\,\,,\,\,\,t = 1 + \frac{1}{k}$
*Với

$k > 0$ có các nghiệm dương là

$(1 + \frac{1}{k}, + \infty )\,$ do đó

$(1)$ có nghiệm.
*Với

$k < 0$ ta có

$f(t) > 0\,\, \Leftrightarrow \,\,{t_1} < t < {t_2}$
Để

$(2)$ có nghiệm dương, điều kiện là

${t_2} = 1 + \frac{1}{k} > 0 \Leftrightarrow k + 1 < 0$ ( vì

$k < 0$ )

$\Leftrightarrow k < - 1$
Vậy với

$k < - 1$ hoặc

$k > 0$ thì (

$1)$ có nghiệm.

1 Đáp án