|
|
$2x^4- 17x^3+ 51x^2 - (36 + k)x + k = 0 (1)$
$1.$ Dễ thấy $\forall k,x=1$ luôn thỏa mãn phương trình.Vậy $(1)$có một nghiệm không phụ thuộc tham số $k$
$2.$ Do $x=1$ là một nghiệm, $(1)$ có thể phân tích thành
$(x-1)(2x^3-15x^2+36x-k)=0$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x=1 \\ k=2x^3-15x^2+36x (2) \end{cases} $
$a) x=1$ sẽ là một nghiệm của $(2)\Leftrightarrow k=2-15+36\Leftrightarrow k=23$
Khi $k=23$ thì $(2)\Leftrightarrow 2x^3-15x^2+36x-23=0\Leftrightarrow x=1$
Do đó khi $k=23$ thì $(1)$ có một nghiệm duy nhất $x=1$ (nghiệm kép)
$b) $ Nếu $k\neq 23$ thì $x=1$ không là nghiệm của $(2)$ nên số nghiệm của $(1)=1+$số nghiệm của $(2)$
Xét $f(x)=2x^3-15x^2+36x$ ta có
$f'(x)=6x^2-30x+36=6(x^2-5x+6)$
Từ bảng bién thiên của $f(x)$ ta thấy :
Nếu
$\left[ \begin{array}{l}k>28\\\begin{cases}k<27\\k\neq
23\end{cases}\end{array} \right. $ thì $(2)$ có nghiệm duy nhất
$\Rightarrow (1) $ có hai nghiệm phân biệt.
Nếu $k=27$ hoặc $k=28$ thì $(2)$ có hai nghiệm phân biệt,$(1)$ có ba nghiệm phân biệt (hai nghiệm đơn và một nghiệm kép)
Nếu $27<k<28$ thì $(1)$ có bốn nghiệm phân biệt
|