Hệ pt đẳng cấp

Question

Gải hệ phương trình:

$\begin{cases}\frac{x+y}{x-y} +6 \frac{x-y}{x+y} =5 (1) \\ xy=2 (2) \end{cases}$

score 6 · Answer 1

Điều kiện :

$x \ne \pm y$ .
Đặt:

$t=\frac{x+y}{x-y} \Rightarrow \frac{x-y}{x+y} = \frac{1}{t}$ .
Phương trình (1) trở thành:

$t+\frac{6}{t}=5 \Rightarrow t^2-5t+6=0 \Rightarrow t_1=3; t_2=2$ .
* Với

$t_1=3 \Rightarrow \frac{x+y}{x-y}=3 \Rightarrow x=2y$ .
Đem thế vào (2) ta được:

$2y^2=2 \Rightarrow y=\pm 1$
+

$y_1=1 \Rightarrow x_1=2$
+

$y_2=-1 \Rightarrow x_2=-2$ .
* Với

$t_2=2 \Rightarrow \frac{x+y}{x-y}=2 \Rightarrow x=3y$ .
Đem thế vào (2) ta được:

$3y^2=2 \Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{6} }{3}$
+

$y_3= -\frac{\sqrt{6} }{3} \Rightarrow x_3=-\sqrt{6}$
+

$y_4= \frac{\sqrt{6} }{3} \Rightarrow x_4=\sqrt{6}$ .
Hệ đã cho có

$4$ nghiệm:

$(-2; -1), (2;1), (-\sqrt{6};- \frac{\sqrt{6} }{3} ), (\sqrt{6}; \frac{\sqrt{6} }{3} )$

1 Đáp án