Phương trình có nghiệm nguyên

 Với $x,y$  nguyên, dương thì  $2x+3y-z$   và  $x-2y-z$ nhận các giá trị là các số nguyên là ước của  $10$.
Ta lại nhận thấy  $(2x+3y-z)-(x-2y-z)=x+5y$.
với  $x\ge1,  y\ge 1       \Rightarrow         x+5y \geq6.$
Với các điều kiện này thì  (*)  tương đương với các hệ:
$\left[ \begin{array}{l} \begin{cases}2x+3y-z=10 \\x-2 y-z=1 \end{cases}          (1)\\ \begin{cases}2x+3y-z=-1 \\ x-2y-z=-10 \end{cases}          (2) \end{array} \right.$
Giải hệ $(1)$.
Ta có $x+5y=(2x+3y-z)-(x-2y-z)=9$.
Nếu $y \ge 2 \Rightarrow x+5y > 9$. Như vậy $y=1$ và $x=4$.
Ta được bộ $(x; y; z) = (4; 1; 2)$.
Tương tự giải hệ $(2)$ ta được $(x; y; z) = (4; 1; 12)$.

Đáp số:    $(4;1;2)$   và   $(4; 1; 12)$.