a) Vì $u_{n+1}-u_n=\frac{(n+1)x+2}{(n+1)y+1}-\frac{nx+2}{ny+1}$
$=\frac{x-2y}{[(n+1)y+1](ny+1)} $ nên $x>2y$ thì $(u_n)$ tăng; $x<2y$ thì $(u_n)$ giảm.
b) $u_n=\frac{an^2+1}{2n^2+3}=\frac{a}{2}+\frac{2-3a}{2(2n^2+3)} \Rightarrow u_{n+1}=\frac{a}{2}+\frac{2-3a}{2[2(n+1)^2+3]} $
Xét hiệu $H=u_{n+1}-u_n=\frac{2-3a}{2}\left ( \frac{1}{2(n+1)^2+3}-\frac{1}{2n^2+3} \right ), \forall n \geq 1 (1)$
Mà $2(n+1)^2+3>2n^2+3>0$ nên $\frac{1}{2(n+1)^2+3}<\frac{1}{2n^2+3} $
$\Rightarrow \frac{1}{2(n+1)^2+3}-\frac{1}{2n^2+3}<0 $
$H<0 \Leftrightarrow \frac{2-3a}{2}>0 \Leftrightarrow a<\frac{2}{3} ; $
$H>0 \Leftrightarrow \frac{2-3a}{2}<0 \Leftrightarrow a>\frac{2}{3} $.
Vậy $a<\frac{2}{3} $ thì $(u_n)$ giảm; $a>\frac{2}{3} $ thì $(u_n)$ tăng.