a) ĐKXĐ : $ x \ge \frac{-1}{2} $.
Ta có: $2x + \sqrt{2x+1} = 11$
Ta chuyển hạng tử chứa căn về một vế: $\sqrt{2x+1} = 11 - 2x
$.
Bình phương cả hai vế:
$2x+1 = (11 -
2x)^2 \Rightarrow 2x+1 = 121 -44x +
4x^2 $
$\Rightarrow 4x^2 - 46x + 120 = 0
\Rightarrow 2x^2 - 23x + 60 = 0 $
$\Delta = 23^2 - 4.2.60 =49
\Rightarrow x_1 =4; x_2 = \frac{15}{2} $
Thử lại: - Với $x=4$ vế trái cho ta: $2.4 + \sqrt{2.4 + 1} =
8 + 3 = 11 $
Vậy $x=4 $ là nghiệm của phương trình đã cho.
- Với $x=\frac{15}{2} $ vế trái cho ta; $2.\frac{15}{2} +
\sqrt{2.\frac{15}{2} +1 } = 19 \neq 11 $
Vậy $x=\frac{15}{2} $ là nghiệm ngoại lai.
Kết quả : S = {$4$}
b)ĐKXĐ : $ x \ge \frac{-1}{3
} $.
Bình phương cả hai vế phương trình có:
$\sqrt{3x+1} = 1 + \sqrt{x+4}
\Rightarrow 3x+1 = 1+x +4 + 2 \sqrt{x+4} $
$\Rightarrow 2x-4 = 2 \sqrt{x+4}
\Rightarrow x - 2 = \sqrt{x+4} $
Lại tiếp tục bình phương hai vế ta được:
$(x-2)^2 = x +4 \Rightarrow x^2
- 4x + 4 = x+4$
$x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x=0
; x = 5$.
Thử lại : - Với $x=5$ vế trái cho ta; $\sqrt{3.5 + 1} = 4 $
vế phải cho ta: $1+ \sqrt{5+4} = 1+ 3 = 4 $.
Vậy $x=5$ là nghiệm của phương trình đã cho.
- Với $x=0$, vế trái ; $\sqrt{3.0 + 1} = 1 $, vế phải: $1+
\sqrt{0+4} = 3 $.
Vậy $x=0$ là nghiệm ngoại lai.
Kết quả: S = {$5$}.
c) ĐKXĐ : $ x \ge 4$.
Chuyển các căn thức về một vế : $\sqrt{2x-1} - \sqrt{x-4} = 2 $
Bình phương cả hai vế: $(2x-1)+(x-4)-2 \sqrt{(2x-1)(x-4)} = 4 $.
Lại chuyển căn thức về một vế: $3x - 9 = 2 \sqrt{(2x-1)(x-4)} $.
Bình phương cả hai vế: $9x^2 - 54x + 81 = 4(2x^2 - 9x +4)$
$\Rightarrow x^2 - 18x + 65 = 0
\Rightarrow x_1 = 5 ; x_2 = 13 $.
Thử lại;
* Với $x=5 \Rightarrow \sqrt{2.5-1} -
\sqrt{5-4}-2 = 3 - 1 -2 = 0 $
Vậy $x=5$ là nghiệm của phương trình.
* Với $x=13 \Rightarrow \sqrt{2.13-1} -
\sqrt{13-4}-2 = 5 - 3 -2 = 0$.
Vậy $x=13$ cũng là nghiệm của phương trình đã cho.
Kết quả; S = {$5 ; 13$}