|
|
Điều kiện có nghĩa: $x \ne 1$. Biến đổi tương đương bất phương trình:
$\begin{array}{l}
\sqrt {{a^3}}{{(x - 1)}^2} + \frac{{\sqrt a }}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \le
\sqrt[4]{{{a^3}}}\left| {\sin \frac{{\pi x}}{2}} \right|\\
\Leftrightarrow \sqrt {{a^3}} {\left( {x - 1} \right)^4} - \sqrt[4]{{{a^3}}}\left| {\sin \frac{{\pi
x}}{2}} \right|{(x - 1)^2} + \sqrt a \le 0\\
\Leftrightarrow \left( {\sqrt[4]{{{a^3}}}{{(x - 1)}^2} - \frac{1}{2}\left| {\sin \frac{{\pi x}}{2}}
\right|} \right)^2 + \sqrt a - \frac{1}{4}{\sin ^2}\frac{{\pi x}}{2} \le 0
\end{array}$
Nếu $a > \frac{1}{16} $ thì $\sqrt a - \frac{1}{4}{\sin ^2}\frac{{\pi x}}{2}> 0$ với mọi $x$ nên bất pt vô nghiệm.
Nếu $a = \frac{1}{16} $ thì bpt trở thành:
$\begin{array}{l}
{\left( {\frac{1}{8}{{(x - 1)}^2} - \frac{1}{2}\left| {\sin \frac{{\pi x}}{2}} \right|} \right)^2} +
\frac{1}{4}\left( {1 - {{\sin }^2}\frac{{\pi x}}{2}} \right) \le 0\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\sin ^2}\frac{{\pi x}}{2} = 1\\
\frac{1}{8}{(x - 1)^2} = \frac{1}{2}\left| {\sin \frac{{\pi x}}{2}} \right|
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
x = - 1
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy $a =\frac{1}{16} $ là giá trị lớn nhất để bất pt có nghiệm.
|