bất phương trình

Question

Tìm giá trị lớn nhất của

$a$ để bất phương trình sau có ít nhất một nghiệm:

$\sqrt {a^3} (x - 1)^2 + \frac{\sqrt a }{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \le \sqrt[4]{a^3}\left| {\sin \frac{\pi x}{2}} \right|$

score 6 · Answer 1

Điều kiện có nghĩa:

$x \ne 1$ . Biến đổi tương đương bất phương trình:

$\begin{array}{l} \sqrt {{a^3}}{{(x - 1)}^2} + \frac{{\sqrt a }}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \le \sqrt[4]{{{a^3}}}\left| {\sin \frac{{\pi x}}{2}} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^3}} {\left( {x - 1} \right)^4} - \sqrt[4]{{{a^3}}}\left| {\sin \frac{{\pi x}}{2}} \right|{(x - 1)^2} + \sqrt a \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt[4]{{{a^3}}}{{(x - 1)}^2} - \frac{1}{2}\left| {\sin \frac{{\pi x}}{2}} \right|} \right)^2 + \sqrt a - \frac{1}{4}{\sin ^2}\frac{{\pi x}}{2} \le 0 \end{array}$
Nếu

$a > \frac{1}{16}$ thì

$\sqrt a - \frac{1}{4}{\sin ^2}\frac{{\pi x}}{2}> 0$ với mọi

$x$ nên bất pt vô nghiệm.
Nếu

$a = \frac{1}{16}$ thì bpt trở thành:

$\begin{array}{l} {\left( {\frac{1}{8}{{(x - 1)}^2} - \frac{1}{2}\left| {\sin \frac{{\pi x}}{2}} \right|} \right)^2} + \frac{1}{4}\left( {1 - {{\sin }^2}\frac{{\pi x}}{2}} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\sin ^2}\frac{{\pi x}}{2} = 1\\ \frac{1}{8}{(x - 1)^2} = \frac{1}{2}\left| {\sin \frac{{\pi x}}{2}} \right| \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3\\ x = - 1 \end{array} \right. \end{array}$
Vậy

$a =\frac{1}{16}$ là giá trị lớn nhất để bất pt có nghiệm.

Hỏi	04-07-12 10:27 PM
Lượt xem	1574
Hoạt động	04-07-12 11:02 PM

bất phương trình

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

bất phương trình

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan