hình không gian

Question

Cho tứ diện

$OABC$ vuông tại

$O$ biết

$AB=BC=5;CA=3\sqrt{2}$

$a.$ Tính

$OA,OB,OC$

$b.$ Kẻ

$OH\bot (ABC)$ . Tính

$OH$ và diện tích các tam giác

$OAB,OAC,OBC,ABC$

score 5 · Answer 1

(bạn đọc vẽ hình để theo dõi )

$a,$ Vì

$AB=BC=5$ nên sử dụng định lí pytago trong các tam giác vuông

$AOB,COB$ ta suy ra :

$OA=OC$
Đặt

$OA=OC=a;OB=b$ ta có :

$\begin{cases}a^2+b^2=5^2=25 \\ a^2+a^2= (3\sqrt{2} )^2=18\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a^2=9 \\ b^2= 16\end{cases} \Rightarrow a=3;b=4$
Vậy

$OA=OC=3; OB=4$

$b.$ Giả sử đường thẳng

$BH$ cắt

$AC$ tại

$K$ .Dễ thấy

$OB\bot mp(OAC)$ nên

$OB\bot OK$ .Do vậy tam giác

$KOB$ vuông tại

$B$ , áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

$KOB$ và

$AOC$ ta có :

$\frac{1}{OH^2} =\frac{1}{OK^2} +\frac{1}{OB^2} =\frac{1}{OA^2} +\frac{1}{OB^2} +\frac{1}{OC^2} =\frac{2}{9} +\frac{1}{16}$

$OH^2=\frac{9.16}{41} \Rightarrow OH=\frac{12}{\sqrt{41} }$
Trong

$\Delta OAB$ kẻ

$OM\bot AB$ .Theo định lí ba đường vuông góc ta có

$CM\bot AB$ .Trong tam giác vuông góc

$AOB$ , với đường cao

$OM$ , ta có :

$OM=\frac{OA.OB}{AB} =\frac{3.4}{5} =\frac{12}{5}$
Từ đó, trong tam giác vuông

$MOC$ (vuông tại

$O$ ) ta được

$CM=\sqrt{OM^2+OC^2}=\sqrt{\frac{144}{25}+9 } =\frac{3\sqrt{41} }{5}$
Diện tích các tam giác :

$S_{\Delta AOB}=S_{\Delta BOC}=6; S_{\Delta AOC}=\frac{9}{2}; S_{\Delta ABC }=\frac{3\sqrt{41} }{2}$

1 Đáp án