Chứng minh rằng

Question

Cho tam giác $ABC$, điểm $M$ bất kỳ trong tam giác. Đặt $S\left( {ABC} \right) = {S_a},S\left( {MCA} \right) ={S_b},A\left( {MAB} \right) = {S_c}$.
Chứng minh rằng :${S_a}\overrightarrow {MA} + {S_b}\overrightarrow {MB} + {S_c}\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 $

score 2 · Answer 1

Gọi $A’$ là giao điểm của $MA$ với $BC$.
Ta có : $\overrightarrow {MA'} = \frac{{A'C}}{{BC}}\overrightarrow {MB} + \frac{{A'B}}{{BC}}\overrightarrow {MC} $
Và $\frac{{A'C}}{{A'B}} = \frac{{S\left( {MA'C} \right)}}{{S\left( {MA'B} \right)}} = \frac{{S\left( {MAC} \right)}}{{S\left( {MAB} \right)}} = \frac{{{S_b}}}{{{S_c}}}$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{A'C}}{{BC}} = \frac{{{S_b}}}{{{S_b} + {S_c}}}\\
\frac{{A'B}}{{BC}} = \frac{{{S_c}}}{{{S_b} + {S_c}}}
\end{array} \right.
\Rightarrow \overrightarrow {MA'} = \frac{{{S_b}}}{{{S_b} + {S_c}}}\overrightarrow {MB} + \frac{{{S_c}}}{{{S_b} + {S_c}}}\overrightarrow {MC}    (*)
\end{array}$
Mặt khác $\frac{{MA'}}{{MA}} = \frac{{S\left( {MA'B} \right)}}{{S\left( {MAB} \right)}} = \frac{{S\left( {MA'C} \right)}}{{S\left( {MAC} \right)}} = \frac{{S\left( {MA'B} \right) + S\left( {MA'C} \right)}}{{S\left( {MAB} \right) + S\left( {MAC} \right)}}$
$\,\, = \frac{{{S_a}}}{{{S_b} + {S_c}}}$
$ \Rightarrow \overrightarrow {MA'} = \frac{{ - {S_a}}}{{{S_b} + {S_c}}}\overrightarrow {MA} $. Thay vào (*) được
$-$${S_a}\overrightarrow {MA} = {S_b}\overrightarrow {MB} + {S_c}\overrightarrow {MC} \Rightarrow {S_a}\overrightarrow {MA} + {S_B}\overrightarrow {MB} + {S_c}\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 $    (đpcm)

Chú ý: Đây là một tính chất quen thuộc. Khi $M$ nằm ngoài tam giác, ta cũng có đẳng thức tương tự, nhưng đổi dấu một số hạng tử vế trái tương ứng.

Hỏi	15-06-12 12:02 AM
Lượt xem	1748
Hoạt động	05-07-12 04:27 PM

Chứng minh rằng

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Chứng minh rằng

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan