kẻ AM vuông góc vs CD $\Rightarrow AM=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Kẻ AH vuông góc vs BM $\Rightarrow$AH vuông góc vs (BCD) $\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{21}}{7}$$\Rightarrow AB=a \Rightarrow VABCD=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{18}$

kẻ AM vuông góc vs CD $\Rightarrow AM=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Kẻ AH vuông góc vs BM $\Rightarrow$AH vuông góc vs (BCD) $\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{21}}{7}$$\Rightarrow AB=a \Rightarrow VABCD=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$

ad BĐT cosi cho2 số dương ta đc$u_{n+1}+(1-u_{n})\geq 2\sqrt{u_{n+(1-u_{n}})}>2.\frac{1}{2}=1$$\Rightarrow u_{n+1}>u_{n}$Vậy $(un)$ là dãy đơn điệu tăng. ngoài ra $(un)$ còn bị chặn bởi 1.Theo nguyên lí giới hạn hữu hạnL=$\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }un$gt $\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }(u_{n+1}(1-u_{n})\geq \frac{1}{4}$$\Rightarrow L(1-L)\geq \frac{1}{4} \Rightarrow L=\frac{1}{2}$

ad BĐT cosi cho2 số dương ta đc$u_{n+1}+(1-u_{n})\geq 2\sqrt{u_{n+(1-u_{n}})}>2.\frac{1}{2}=1$$\Rightarrow u_{n+1}>u_{n}$Vậy $(un)$ là dãy đơn điệu tăng. ngoài ra $(un)$ còn bị chặn bởi 1.Theo nguyên lí giới hạn thì tồn tại giới hạn hữu hạnL=$\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }un$gt $\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }(u_{n+1}(1-u_{n})\geq \frac{1}{4}$$\Rightarrow L(1-L)\geq \frac{1}{4} \Rightarrow L=\frac{1}{2}$

Ta có $\frac{ab}{a+3b+2c}\leq \frac{ab}{9}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b})$TT $\Rightarrow VT \leq \frac{1}{9}(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ca}{c+b}+\frac{bc+ca}{a+b})+\frac{1}{18}(a+b+c)$ $=\frac{a+b+c}{6}$Dấu $= \Leftrightarrow a=b=c$

Ta có $\frac{ab}{a+3b+2c}=\frac{ab}{(a+c)+(b+c)+2b}\leq \frac{ab}{9}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b})$ad$\frac{9}{x+y+z}\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$TT$\Rightarrow VT \leq \frac{1}{9}(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ca}{c+b}+\frac{bc+ca}{a+b})+\frac{1}{18}(a+b+c)=\frac{a+b+c}{6}$Dấu$= \Leftrightarrow a=b=c$

có ai làm được bài này hông

a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác . cmr \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{b+a} + \frac{ab+bc+ca}{(a+b+c)^{2}} \leqslant \frac{5}{2}

Bất đẳng thức

có ai làm được bài này hông

a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác . cmr $\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{b+a} + \frac{ab+bc+ca}{(a+b+c)^{2}} \leqslant \frac{5}{2}$

Bất đẳng thức

Chúc mn ăn Tết vv nhá!!! HAPPY NEW YEAR

Từ các số tự nhiên 1,2,3 lập đc bn số TN có 2015 c/s sao cho số lần xuất hiện of 1,2,3 là số lẻ

Tổ hợp

Chúc mn ăn Tết vv nhá!!! HAPPY NEW YEAR

Từ các số tự nhiên 1,2,3 lập đc bn số TN có 2015 c/s sao cho số lần xuất hiện of 1,2,3 là số lẻHÍ HÍ :D chúc mn đón Tết vv, đấm ấm , hạnh phúc lun học giỏi và đc nhiu lì xì nhá ;) :x

Tổ hợp

ad BĐT C-Sta có $(a^{2}+b+c)(1+b+c)\geq (a+b+c)^{2}$$\Rightarrow \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}\leq \frac{a\sqrt{b+c+1}}{a+b+c}=\frac{a\sqrt{3(b+c+1)}}{3\sqrt{3}}\leq \frac{a+(b+c+1+3)}{2(a+b+c)\sqrt{3}}$TT$\Rightarrow VT\leq \frac{4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)}{2(a+b+c)\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{\sqrt{3}} \frac{ab+bc+ca}{a+b+c}=\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{ab+bc+ca}\leq \sqrt{3}$Dấu "="$\Leftrightarrow a=b=c=1$

ad BĐT C-Sta có $(a^{2}+b+c)(1+b+c)\geq (a+b+c)^{2}$$\Rightarrow \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}\leq \frac{a\sqrt{b+c+1}}{a+b+c}=\frac{a\sqrt{3(b+c+1)}}{(a+b+c)\sqrt{3}}\leq \frac{a+(b+c+1+3)}{2(a+b+c)\sqrt{3}}$TT$\Rightarrow VT\leq \frac{4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)}{2(a+b+c)\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{\sqrt{3}} \frac{ab+bc+ca}{a+b+c}=\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{ab+bc+ca}\leq \sqrt{3}$Dấu "="$\Leftrightarrow a=b=c=1$

ad BĐT C-Sta có $(a^{2}+b+c)(1+b+c)\geq (a+b+c)^{2}$$\Rightarrow \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}\leq \frac{a\sqrt{b+c+1}}{3}=\frac{a\sqrt{3(b+c+1)}}{3\sqrt{3}}\leq \frac{a+(b+c+1+3)}{6\sqrt{3}}$TT$\Rightarrow VT\leq \frac{4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)}{6\sqrt{3}}\leq \frac{4.3+2.3}{6\sqrt{3}}=\sqrt{3}$Dấu "="$\Leftrightarrow a=b=c=1$

ad BĐT C-Sta có $(a^{2}+b+c)(1+b+c)\geq (a+b+c)^{2}$$\Rightarrow \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}\leq \frac{a\sqrt{b+c+1}}{a+b+c}=\frac{a\sqrt{3(b+c+1)}}{3\sqrt{3}}\leq \frac{a+(b+c+1+3)}{2(a+b+c)\sqrt{3}}$TT$\Rightarrow VT\leq \frac{4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)}{2(a+b+c)\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{\sqrt{3}} \frac{ab+bc+ca}{a+b+c}=\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{ab+bc+ca}\leq \sqrt{3}$Dấu "="$\Leftrightarrow a=b=c=1$

giả sử $a\geq b\geq c$ khi đó$b^{2}-bc+c^{2}=b^{2} +c(c-b)\leq b^{2}$$c^{2}-ac+c^{2}=c(c-a)+a^{2} \leq a^{2}$$\Rightarrow P\leq a^{2}b^{2}(a^{2}-ab+b^{2})=\frac{4}{9}.\frac{3ab}{2}.\frac{3ab}{2}(a^{2}-ab+b^{2})$$\leq \frac{4}{9}( \frac{\frac{3ab}{2}+\frac{3ab}{2}.(a^{2}-ab+b^{2})}{3})^{3}=\frac{4}{9.27}(a+b)^{6}\leq \frac{4}{9.27}(a+b+c)^{6}=12$Dấu "="$ a=2;b=1;c=0$

giả sử $a\geq b\geq c$ khi đó$b^{2}-bc+c^{2}=b^{2} +c(c-b)\leq b^{2}$$c^{2}-ac+c^{2}=c(c-a)+a^{2} \leq a^{2}$$\Rightarrow P\leq a^{2}b^{2}(a^{2}-ab+b^{2})=\frac{4}{9}.\frac{3ab}{2}.\frac{3ab}{2}(a^{2}-ab+b^{2})$$\leq \frac{4}{9}( \frac{\frac{3ab}{2}+\frac{3ab}{2}+(a^{2}-ab+b^{2})}{3})^{3}=\frac{4}{9.27}(a+b)^{6}\leq \frac{4}{9.27}(a+b+c)^{6}=12$Dấu "="$ a=2;b=1;c=0$

ta có $(a-b)(b-c)(c-a)\neq0$ta có $0=a-b+b-c+c-a=\frac{a-b+b-c+c-a}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\sum\frac{1}{(a-b)(b-c)}$H=$\sum\frac{1}{(a-b)^{2}}=\sum\frac{1}{(a-b)^{2}}+2\sum_{a}^{b} \frac{1}{(a-b)(b-c)}$=$(\sum\frac{1}{a-b})^{2}=\frac{1}{(a-b)^{2}}+(\frac{(a-b)^{2}}{((b-c)(a-c))^{2}}+2\frac{a-b}{(a-c)(b-c)}$giả sử $c= \min\left{ a{,}b,c \right}$, khi đó $ab+bc+ca \geq (a-c)(b-c)\geq0$H$\geq \frac{4}{(a-c)(b-c)}\geq \frac{4}{ab+bc+ca}$ ( BĐT cosi)đấu "=" $\Leftrightarrow ......$≥4(a−c)(b−c)≥4ab+bc+ca

ta có $(a-b)(b-c)(c-a)\neq0$ta có $0=a-b+b-c+c-a=\frac{a-b+b-c+c-a}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\sum\frac{1}{(a-b)(b-c)}$H=$\sum\frac{1}{(a-b)^{2}}=\sum\frac{1}{(a-b)^{2}}+2\sum_{a}^{b} \frac{1}{(a-b)(b-c)}$=$(\sum\frac{1}{a-b})^{2}=\frac{1}{(a-b)^{2}}+(\frac{(a-b)^{2}}{((b-c)(a-c))^{2}}+2\frac{a-b}{(a-c)(b-c)}$giả sử $c$ là số nhỏ nhất, khi đó $ab+bc+ca \geq (a-c)(b-c)\geq0$H$\geq \frac{4}{(a-c)(b-c)}\geq \frac{4}{ab+bc+ca}$ ( BĐT cosi)đấu "=" $\Leftrightarrow ......$

ta có $(a-b)(b-c)(c-a)\neq0$ta có $0=a-b+b-c+c-a=\frac{a-b+b-c+c-a}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\sum\frac{1}{(a-b)(b-c)}$H=$\sum\frac{1}{(a-b)^{2}}=\sum\frac{1}{(a-b)^{2}}+2\sum_{a}^{b} \frac{1}{(a-b)(b-c)}$=$(\sum\frac{1}{a-b})^{2}=\frac{1}{(a-b)^{2}}+(\frac{(a-b)^{2}}{((b-c)(a-c))^{2}}+2\frac{a-b}{(a-c)(b-c)}$giả sử $c=min\left{ a,b,c \right}$, khi đó $ab+bc+ca \geq (a-c)(b-c)\geq0$H$\geq \frac{4}{(a-c)(b-c)}\geq \frac{4}{ab+bc+ca}$ ( BĐT cosi)đấu "=" $\Leftrightarrow ......$

ta có $(a-b)(b-c)(c-a)\neq0$ta có $0=a-b+b-c+c-a=\frac{a-b+b-c+c-a}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\sum\frac{1}{(a-b)(b-c)}$H=$\sum\frac{1}{(a-b)^{2}}=\sum\frac{1}{(a-b)^{2}}+2\sum_{a}^{b} \frac{1}{(a-b)(b-c)}$=$(\sum\frac{1}{a-b})^{2}=\frac{1}{(a-b)^{2}}+(\frac{(a-b)^{2}}{((b-c)(a-c))^{2}}+2\frac{a-b}{(a-c)(b-c)}$giả sử $c= \min\left{ a{,}b,c \right}$, khi đó$ab+bc+ca \geq (a-c)(b-c)\geq0$H$\geq \frac{4}{(a-c)(b-c)}\geq \frac{4}{ab+bc+ca}$( BĐT cosi)đấu "="$\Leftrightarrow ......$≥4(a−c)(b−c)≥4ab+bc+ca

Ta có (a−b)(b−c)(c−a)≠0" role="presentation" style="display: inline-block; line-height: 0; font-size: 18.06px; word-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; padding-top: 1px; padding-bottom: 1px; position: relative;">(a−b)(b−c)(c−a)≠0(a−b)(b−c)(c−a)≠0 nên 0=(a−b)+(b−c)+(c−a)=(a−b)+(b−c)+(c−a)(a−b)(b−c)(c−a)=∑1(a−b)(b−c)" role="presentation" style="display: inline-block; line-height: 0; font-size: 18.06px; word-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; padding-top: 1px; padding-bottom: 1px; position: relative;">0=(a−b)+(b−c)+(c−a)=(a−b)+(b−c)+(c−a)(a−b)(b−c)(c−a)=∑1(a−b)(b−c)0=(a−b)+(b−c)+(c−a)=(a−b)+(b−c)+(c−a)(a−b)(b−c)(c−a)=∑1(a−b)(b−c)Do đó H=∑1(a−b)2=∑1(a−b)2+2∑1(a−b)(b−c)=(∑1a−b)2=(1a−b+a−b(a−c)(b−c))2=1(a−b)2+(a−b)2(a−c)2(b−c)2+2(a−c)(b−c)" role="presentation" style="display: inline-block; line-height: 0; font-size: 18.06px; word-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 33.898em; min-height: 0px; padding-top: 1px; padding-bottom: 1px; width: 745px; position: relative;">H=∑1(a−b)2=∑1(a−b)2+2∑1(a−b)(b−c)=(∑1a−b)2=(1a−b+a−b(a−c)(b−c))2=1(a−b)2+(a−b)2(a−c)2(b−c)2+2(a−c)(b−c)H=∑1(a−b)2=∑1(a−b)2+2∑1(a−b)(b−c)=(∑1a−b)2=(1a−b+a−b(a−c)(b−c))2=1(a−b)2+(a−b)2(a−c)2(b−c)2+2(a−c)(b−c)Không mất tính tổng quát, giả sử c=min{a,b,c}" role="presentation" style="display: inline-block; line-height: 0; font-size: 18.06px; word-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; padding-top: 1px; padding-bottom: 1px; position: relative;">c=min{a,b,c}c=min{a,b,c}, khi đó ab+bc+ca⩾(a−c)(b−c)⩾0" role="presentation" style="display: inline-block; line-height: 0; font-size: 18.06px; word-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; padding-top: 1px; padding-bottom: 1px; position: relative;">ab+bc+ca⩾(a−c)(b−c)⩾0ab+bc+ca⩾(a−c)(b−c)⩾0 nên:H⩾21(a−b)2.(a−b)2(a−c)2(b−c)2+2(a−c)(b−c)⩾4(a−c)(b−c)⩾4ab+bc+ca=1" role="presentation" style="display: inline-block; line-height: 0; font-size: 18.06px; word-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; padding-top: 1px; padding-bottom: 1px; position: relative;">H⩾2√1(a−b)2.(a−b)2(a−c)2(b−c)2+2(a−c)(b−c)⩾4(a−c)(b−c)⩾4ab+bc+ca

ta có $(a-b)(b-c)(c-a)\neq0$ta có $0=a-b+b-c+c-a=\frac{a-b+b-c+c-a}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\sum\frac{1}{(a-b)(b-c)}$H=$\sum\frac{1}{(a-b)^{2}}=\sum\frac{1}{(a-b)^{2}}+2\sum_{a}^{b} \frac{1}{(a-b)(b-c)}$=$ (\sum\frac{1}{a-b})^{2}=\frac{1}{(a-b)^{2}}+(\frac{(a-b)^{2}}{((b-c)(a-c))^{2}}+2\frac{a-b}{(a-c)(b-c)}$giả sử $c=min\left{ a,b,c \right}$, khi đó $ab+bc+ca \geq (a-c)(b-c)\geq0$H$\geq \frac{4}{(a-c)(b-c)}\geq \frac{4}{ab+bc+ca}$ ( BĐT cosi)đấu "=" $\Leftrightarrow ......$

1.giả sử $x\geq y\geq z$ khi đó do $x,y,z \in \left ( 0;1 \right )\Rightarrow \begin{cases}x-yz>0 \\ y-zx>0 \end{cases}$Nếu $z-xy<0$ BĐT lđNếu $z-xy&gt;0$khi đó ta cm$\sqrt{yz}(1-x)\geq \sqrt{(y-zx)(z-xy)} (1)$Thật z$(1) \Leftrightarrow yz(1-x)^{2}\geq (y-zx)(z-xy)$$\Leftrightarrow x(y-z)^{2}\geq 0$ (lđ)TT ta suy ra đpcm Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=z$

1.giả sử $x\geq y\geq z$ khi đó do $x,y,z \in \left ( 0;1 \right )\Rightarrow \begin{cases}x-yz>0 \\ y-zx>0 \end{cases}$Nếu $z-xy<0$ BĐT lđNếu $z-xy\geq 0$khi đó ta cm$\sqrt{yz}(1-x)\geq \sqrt{(y-zx)(z-xy)} (1)$Thật z$(1) \Leftrightarrow yz(1-x)^{2}\geq (y-zx)(z-xy)$$\Leftrightarrow x(y-z)^{2}\geq 0$ (lđ)TT ta suy ra đpcm Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=z$

1.giả sử $a\geq b\geq c$khi đó do$a,b,c \in \left ( 0;1 \right )\Rightarrow \begin{cases}a-bc>0 \\ b-ca>0 \end{cases}$Nếu$c-ab<0$BĐT lđNếu$c-ab>0$khi đó ta cm$\sqrt{bc}(1-a)\geq \sqrt{(b-ac)(c-ab)} (1)$Thật z$(1) \Leftrightarrow bc(1-a)^{2}\geq (b-ac)(c=ab)$$\Leftrightarrow a(b-c)^{2}\geq 0$ (lđ)TT ta suy ra đpcm

1.giả sử $x\geq y\geq z$khi đó do$x,y,z \in \left ( 0;1 \right )\Rightarrow \begin{cases}x-yz>0 \\ y-zx>0 \end{cases}$Nếu$z-xy<0$BĐT lđNếu$z-xy>0$khi đó ta cm$\sqrt{yz}(1-x)\geq \sqrt{(y-zx)(z-xy)} (1)$Thật z$(1) \Leftrightarrow yz(1-x)^{2}\geq (y-zx)(z-xy)$$\Leftrightarrow x(y-z)^{2}\geq 0$ (lđ)TT ta suy ra đpcm Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=z$

ĐK $-1\leqx\leq \frac{5}{4}$+ Min$P^{2}=6x-3+2\sqrt{(x+1)(5-4x)}\geq 6-3x\geq \frac{9}{4}\Rightarrow P\geq \frac{3}{2}$dấu "=" $\Leftrightarrow x=\frac{4}{5}$+ max$P^{2}=(\frac{1}{2}\sqrt{4x+4}+\sqrt{5-4x})^{2}\leq (\frac{1}{4}+1)(4x+4+5-4x) =\frac{5}{4}.9=\frac{45}{4}$$\Rightarrow P\leq \frac{3\sqrt{5}}{2}$Dấu "=" $\Leftrightarrow x=\frac{-11}{20}$

ĐK $-1 \leq x\leq \frac{5}{4}$+ Min$P^{2}=6x-3+2\sqrt{(x+1)(5-4x)}\geq 6-3x\geq \frac{9}{4}\Rightarrow P\geq \frac{3}{2}$dấu "="$\Leftrightarrow x=\frac{4}{5}$+ max$P^{2}=(\frac{1}{2}\sqrt{4x+4}+\sqrt{5-4x})^{2}\leq (\frac{1}{4}+1)(4x+4+5-4x) =\frac{5}{4}.9=\frac{45}{4}$$\Rightarrow P\leq \frac{3\sqrt{5}}{2}$Dấu "=" $\Leftrightarrow x=\frac{-11}{20}$

+ ta thấy $P\geq0$ dấu "=" $\Leftrightarrow x=1$or$x=\frac{4}{5}$+ max$P^{2}=(\frac{1}{2}\sqrt{4x+4}+\sqrt{5-4x})^{2}\leq (\frac{1}{4}+1)(4x+4+5-4x) =\frac{5}{4}.9=\frac{45}{4}$$\Rightarrow P\leq \frac{3\sqrt{5}}{2}$Dấu "=" $\Leftrightarrow x=\frac{-11}{20}$

ĐK $-1\leqx\leq \frac{5}{4}$+ Min$P^{2}=6x-3+2\sqrt{(x+1)(5-4x)}\geq 6-3x\geq \frac{9}{4}\Rightarrow P\geq \frac{3}{2}$dấu "=" $\Leftrightarrow x=\frac{4}{5}$+ max$P^{2}=(\frac{1}{2}\sqrt{4x+4}+\sqrt{5-4x})^{2}\leq (\frac{1}{4}+1)(4x+4+5-4x) =\frac{5}{4}.9=\frac{45}{4}$$\Rightarrow P\leq \frac{3\sqrt{5}}{2}$Dấu "=" $\Leftrightarrow x=\frac{-11}{20}$