Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

 Cách 2 :Trước hết, chú ý điều kiện, nhận thấy giả thiết là hoàn toàn đối xứng với 2 biến 

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Ta có : $30\frac{y}{x^{2}}+4y=2007\Leftrightarrow y\left ( \frac{30}{x^{2}}+4 \right )=2007\rightarrow  y>0$
Tương tự CM đc : $x>0,z>0$
Giả sử : $x>y>0(1)\rightarrow  x\left ( \frac{30}{z^{2}}+4 \right )=y\left ( \frac{30}{x^{2}}+4 \right )\Rightarrow \frac{30}{z^{2}}<\frac{30}{x^{2}}\Rightarrow  z>x (2)$
Tg tự : $y>z (3)$
Vì : $(1),(2) và (3)$ mâu thuẫn vs nhau nên $\Rightarrow x=y=z$
$\Rightarrow  \frac{30}{x}+4x=2007\Leftrightarrow 4x^{2}-2007x+30=0$
$\Leftrightarrow   \left[ { x=\frac{60}{2007+\sqrt{4027569}}}\\ x=\frac{2007+\sqrt{4027569}}{8} \right]$
Vậy : $...$

Cách 2 : 

Tư tưởng chung là dùng BĐT $Cauchy-schwarz:$

$$(x^2+yz+zx)(y^2+yz+zx)\ge (xy+yz+zx{)}^2\iff \frac{xy}{x^2+yz+zx}\le \frac{x{y}^3+x{y}^{2}z+z^{2}yz}{(xy+yz+zx{)}^2}$$

Thiết lập các BĐT tương tự, ta có:

$$\sum \frac{xy}{x^2+yz+zx}\le \sum \frac{x{y}^3+x{y}^{2}z+x^{2}yz}{(xy+yz+zx{)}^2}=\frac{(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2)}{(xy+yz+zx{)}^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\left(\text{đpcm}\right).$$

Áp dụng AM-GM : $\frac{\sum x^{2}}{\sum xy}\geq 1$
-> Ta CM : $\sum \frac{xy}{x^{2}+xy+yz} \leq 1$
$\Leftrightarrow  \sum \frac{xy}{z^{2}+zx+xy}+\sum \frac{x^{2}}{x^{2}+xy+yz} \geq 2$
Áp dụng C-S :  $\sum \frac{xy}{z^{2}+zx+xy} \geq  \frac{(\sum xy)^{2}}{\sum x^{2}y^{2}+2xyz(x+y+z)}=1$
                      $\sum \frac{x^{2}}{x^{2}+xy+yz} \geq  \frac{(x+y+z)^{2}}{\sum (x^{2}+xy+yz)}=1$
$\rightarrow  (đpcm)$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z$

Xem ĐA : Click
I HATE YOU !!

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

$pt(1)+3pt(2) = x^{2}+3xy^{2}+49+3(x^{2}-8xy+y^{2}-8y+17x)=0$
$\Leftrightarrow(x^{3}+3x^{2}+3x+1)+3y^{2}(x+1)-24y(x+1)+48(x+1)=0$
$\Leftrightarrow (x+1)^{3}+(x+1)(3y^{2}-27y+48)=0$
$\Leftrightarrow (x+1)\left[ { (x+1)^{2}+3(y-4)^{2}} \right]=0$
$\Leftrightarrow ...$

Cách 2 : 
ĐK : $x \in  [-12;4]$
$pt\Leftrightarrow  [(x+4)-1]\sqrt{64-(x+4)^{2}}=(x+4)-28$
Đặt : $x+4=8sint , t\in \left[ { \frac{-\pi }{2}};\frac{\pi }{2} \right]$ , ta có : 
 $(8sint-1)\sqrt{64-64sin^{2}t}=8sint-28$
$\Leftrightarrow 8(8sint -1)cost=8sint-28$
$\Leftrightarrow  64sint.cost+28=8sint+8cost$
$\Leftrightarrow  16sin^{2}\left ( t+\frac{\pi }{4} \right ) -2\sqrt{2}.sin \left ( t+\frac{\pi }{4} \right )-1$
$\Rightarrow  t=...$ ( ok r )

C1 :
Đặt : $t=\sqrt{-x^{2}-8x+48}$  $(t\geq 0)$
$pt\Leftrightarrow t^{2}+2(x+3)t+x^{2}+6x=0$
$\Leftrightarrow  t=-x$ hoặc $t=-x-6$
$\Leftrightarrow ...$

Cách 4 đi :)) (ad bđt AM-GM)
 Có : 
 $P=\frac{2}{1+a^{2}}-\frac{2}{1+b^{2}}+\frac{3(1+ab)^{2}}{(1+ab)^{2}+(b-a)^{2}}=\frac{2(b^{2}-a^{2})-3(b-a)^{2}}{(1+a^{2})(a+b^{2})}+3=\frac{(3b-3a)(5a-b)}{3(1+a^{2})(a+b^{2})}+3 \leq  \frac{\left ( \frac{2(a+b)}{2}\right )^{2}}{3(a+b)^{2}}+3=\frac{10}{3}$

ĐK : $x \in  [-1;0)$ hoặc $x \in [1; + \infty)$
$pt \Leftrightarrow  (x-1)-2 \sqrt{\frac{x-1}{x}}+\frac{1}{x}=0$      $(1)$
Nếu : $x \in [-1;0) \rightarrow  VT (1) âm \Rightarrow$ pt (1) vô nghiệm
Nếu : $x\in  [1; + \infty) : (1) \Leftrightarrow  \left ( \sqrt{x-1}-\frac{1}{\sqrt{x}} \right )^{2}=0$
                                         $\Leftrightarrow x^{2}-x-1=0$
                                          $\Leftrightarrow  x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
~~~~~ The End ~~~~~~