Ta có:$\frac{a^{2}}{3}+ b^{2}+c^{2}> ab+bc+ac$ $\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}-a(b+c)-bc> 0$$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{3}+(b+c)^{2}+a(b+c)-3bc> 0 (*)$Thay$bc=\frac{1}{a}$ta được:$(*)\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{3}+(b+c)^{2}+a(b+c)-\frac{3}{a}>0 $$\Leftrightarrow a(b+c)^{2}-a^{2}(b+c)+\frac{a^{3}}{3}-3>0 $Đặt $b+c=x$ ta có: $ax^{2}-a^{2}x+\frac{a^{3}}{3}-3>0 $ với mọi x$\Leftrightarrow \Delta = a^{4}-4a(\frac{a^{3}}{3}-3)<0$$ \Leftrightarrow a^{4}-\frac{4a^{4}}{3}+12a<0 $$12a(36-a^{3}) <0$ đúng vì $a^{3}>36$$ \Rightarrow $ đpcm

Ta có:$\frac{a^{2}}{3}+ b^{2}+c^{2}> ab+bc+ac$ $\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}-a(b+c)-bc> 0$$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{3}+(b+c)^{2}-a(b+c)-3bc> 0 (*)$Thay$bc=\frac{1}{a}$ta được:$(*)\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{3}+(b+c)^{2}+a(b+c)-\frac{3}{a}>0 $$\Leftrightarrow a(b+c)^{2}-a^{2}(b+c)+\frac{a^{3}}{3}-3>0 $Đặt $b+c=x$ ta có: $ax^{2}-a^{2}x+\frac{a^{3}}{3}-3>0 $ với mọi x$\Leftrightarrow \Delta = a^{4}-4a(\frac{a^{3}}{3}-3)<0$$ \Leftrightarrow a^{4}-\frac{4a^{4}}{3}+12a<0 $$12a(36-a^{3}) <0$ đúng vì $a^{3}>36$$ \Rightarrow $ đpcm

BĐT tương đương:a3+b3+c3−3abc≥(a−b)2c+(b−c)2a+(c−a)2b⇔(a+b+c)((a−b)2+(b−c)2+(c−a)2)≥∑2a(b−c)2⇔a(b−c)2−a[(a−b)2+(c−a)2]+b(c−a)2−b[(a−b)2+(b−c)2]+c(a−b)2−c[(c−a)2+(b−c)2]=0⇔−(b−c)2(b+c−a)−(c−a)2(a+c−b)−(a−b)2(a+b−c)≤0(Đúng theo bất đẳng thức tam giác).Ta có đpcmVà bài:ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)>a3+b3+c3+2abc⇔∑ab2+ac2−a32abc>1⇔∑b2+c2−a22bc>0⇔(a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)2abc>0Đúng theo bất đẳng thức tam giác.

BĐT tương đương:a3+b3+c3−3abc≥(a−b)2c+(b−c)2a+(c−a)2b⇔(a+b+c)((a−b)2+(b−c)2+(c−a)2)≥∑2a(b−c)2⇔a(b−c)2−a[(a−b)2+(c−a)2]+b(c−a)2−b[(a−b)2+(b−c)2]+c(a−b)2−c[(c−a)2+(b−c)2]=0⇔−(b−c)2(b+c−a)−(c−a)2(a+c−b)−(a−b)2(a+b−c)≤0(Đúng theo bất đẳng thức tam giác).Ta có đpcm

Đặt x=b+c−a,y=c+a−b,z=a+b−c⇒16c=8(x+y),4a=2(y+z),9b=9(x+z)2Nên bất đảng thức trở thành:2yx+2zx+9x2y+9z2y+8xz+8yzĐến đây Cauchy 2 số thôi .P≥26(Q.E.D)Dấu "=" bạn tự tìm nhé

BĐT tương đương:a3+b3+c3−3abc≥(a−b)2c+(b−c)2a+(c−a)2b⇔(a+b+c)((a−b)2+(b−c)2+(c−a)2)≥∑2a(b−c)2⇔a(b−c)2−a[(a−b)2+(c−a)2]+b(c−a)2−b[(a−b)2+(b−c)2]+c(a−b)2−c[(c−a)2+(b−c)2]=0⇔−(b−c)2(b+c−a)−(c−a)2(a+c−b)−(a−b)2(a+b−c)≤0(Đúng theo bất đẳng thức tam giác).Ta có đpcmVà bài:ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)>a3+b3+c3+2abc⇔∑ab2+ac2−a32abc>1⇔∑b2+c2−a22bc>0⇔(a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)2abc>0Đúng theo bất đẳng thức tam giác.