Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l} \sin x \ne 0\\ c{\rm{osx}} \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}$
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + c{\rm{osx}} - m\sin {\rm{x}}c{\rm{osx}} = 0$                (2)
Đặt ${\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + c{\rm{osx = t}}$, $t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right],t \ne  \pm 1$, (3) trở thành
$t - m.\frac{{{t^2} - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) = m{t^2} - 2t - m$                (3)
Phải chứng minh (3) có ít ra 1 nghiệm $\ne  \pm 1$ và $\in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]$
Trường hợp $m = 0$ (3) có nghiệm $t = 0$: thõa mãn
Trường hợp $m \ne 0$: $f\left( { \pm 1} \right) =  \pm 2 \Rightarrow  \pm 1$ không phải là nghiệm của (3)
Mặt khác $f\left( 1 \right).f\left( { - 1} \right) =  - 4 < 0$ nên có nghiệm $\in \left( { - 1;1} \right)$. Cũng thuộc $\in \left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)$
Vậy với $\forall m$ (3) đều có nghiệm thích hợp $\Rightarrow \left( 1 \right)$ có nghiệm   (đpcm)
Để (1) có nghiệm $\in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$. Vẫn đưa phương trình về dạng (3), nhưng do x $\in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ nên
$t = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + c{\rm{osx}} = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \in \left( {1,\sqrt 2 } \right)$( vì $x + \frac{\pi }{4} \in \left( {\frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right) \Rightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \in \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};1} \right]$)
$\Rightarrow t = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \in \left( {1;\sqrt 2 } \right]$
Vậy (3) phải có ít nhất một nghiệm $\in \left( {1;\sqrt 2 } \right]$
Trường hợp $m = 0$ loại vì (3) có nghiệm $t = 0 \in \left( {1;\sqrt 2 } \right]$
Trường hợp $m \ne 0$. Do $f\left( { - 1} \right).f\left( 1 \right) =  - 4 < 0$ nên (3) có 1 nghiệm ${t_1} \in \left( { - 1;1} \right)$ nghiệm ${t_2}\overline  \in  \left( { - 1;1} \right]$, để ${t_2} \in \left( {1,\sqrt 2 } \right]$ phải có
$\left\{ \begin{array}{l} m.f\left( 1 \right) < 0\\ m.f\left( {\sqrt 2 } \right) \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\left( { - 2} \right) < 0\\ m.\left( {m - 2\sqrt 2 } \right) \ge 0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow m \ge 2\sqrt 2$. Đây là các giá trị $m$ cần tìm

-  Nếu tam giác $ABC$ không nhọn thì $\cos A\cos B\cos C \le 0 < \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$ (Đúng)
-  Nếu tam giác $ABC$ nhọn thì $\cos A,\cos B,\cos C > 0$ và ta có
$\cos A\cos B = \frac{1}{2}\left( {c{\rm{os}}\left( {A - B} \right) + c{\rm{os}}\left( {A + B} \right)} \right) \le \frac{1}{2}\left( {1 - \cos C} \right) = {\sin ^2}\frac{C}{2}$
Làm tương tự đối với $\cos B \cos C, \cos C\cos A$ rồi nhân hai vế ta được
$(\cos A\cos B\cos C)^2\le (\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2})^2$(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $A=B=C$ $\Leftrightarrow \Delta ABC$đều.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Điều kiện: $\sin x\ne0,\cos x\ne0$    
$2\sqrt 2 {\rm{ sin }}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} + \frac{1}{{\cos x}}$
$\Leftrightarrow 2\sqrt 2 {\rm{ sin }}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x}}{{\sin {\rm{x}}\cos x}}$
$\Leftrightarrow 2\sqrt 2 {\rm{ sin }}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{\sin {\rm{x}}\cos x}}$
$\Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\left[ {2 - \frac{1}{{\sin {\rm{x}}\cos x}}} \right] = 0$
$\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)=0\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi {\rm{  }}\left( {k \in \mathbb{Z} } \right)$
$2 - \frac{1}{{\sin {\rm{x}}\cos x}}=0\Leftrightarrow \sin 2x =1\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi {\rm{  }}\left( {k \in \mathbb{Z} } \right)$

Đáp số:  $x = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi {\rm{  }}\left( {k \in \mathbb{Z} } \right)$

Ta biến đổi vế trái của đẳng thức:
$VT=\frac{1}{\sin^2\alpha }.\frac{1}{\cos^2\alpha }=(1+\cos^2\alpha )(1+\tan^2\alpha )  \\  = 1 + {\tan ^2}\alpha  + {\cot ^2}\alpha  + {\tan ^2}\alpha .{\cot ^2}\alpha  = 1 + {\tan ^2}\alpha  + {\cot ^2}\alpha  + 1\\  = {\tan ^2}\alpha  + {\cot ^2}\alpha  + 2  (đpcm)$

$\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\sqrt {(\tan^2x + \cot ^2x - 2)} \,dx}$
$=\int\limits_{\frac{\pi}{6} }^{\frac{\pi}{3} } \sqrt{(\tan x-\cot x)^2}  dx=\int\limits_{\frac{\pi}{6} }^{\frac{\pi}{3} }  |\tan x-\cot x|dx$
$=\int\limits_{\frac{\pi}{6} }^{\frac{\pi}{3} }|\frac{2\cos2x}{\sin2x} |dx=\int\limits_{\frac{\pi}{6} }^{\frac{\pi}{4} }\frac{2\cos2x}{\sin2x}dx-\int\limits_{\frac{\pi}{4} }^{\frac{\pi}{3} } \frac{2\cos2x}{\sin2x}dx$
$=\int\limits_{\frac{\pi}{6} }^{\frac{\pi}{4} }\frac{d\sin2x}{\sin2x}-\int\limits_{\frac{\pi}{4} }^{\frac{\pi}{3} } \frac{d\sin2x}{\sin2x}$
Đặt $t=\sin2x$ thì
$I=\int\limits_{\frac{\sqrt{3} }{2} }^{1} \frac{dt}{t}-\int\limits_{1}^{\frac{\sqrt{3} }{2} }\frac{dt}{t}   =2\int\limits_{\frac{\sqrt{3} }{2} }^{1}\frac{dt}{t} =2lnt\mathop |\nolimits_\frac{\sqrt{3} }{2} ^1  =2ln\frac{2}{\sqrt{3} }$

Điều kiện : $x>0$.
Đặt $t=log_6x\Leftrightarrow  x=6^t$ thế thì:
$x^{log_6(3x)}=6^{t(log_63+t)}$ và $36\sqrt[5]{x^7} =6^2.6^{\frac{7t}{5} }=6^{2+\frac{7t}{5} }$
Thay vào PT ta được :
$6^{t(log_63+t)}=6^{2+\frac{7t}{5} }\Leftrightarrow  t(log_63+t)=2+\frac{7t}{5} \Leftrightarrow  5t^2-(7-5log_63)t-10=0$
Phương trình có các hệ số $a,c$ trái dấu nên luôn có hai nghiệm phân biệt $t_1,t_2$ thỏa mãn $t_1+t_2=\frac{7-5log_63}{5}$
Mặt khác ta có $x_1=6^{t_1}, x_2=6^{t_2}$ nên
$x_1.x_2=6^{t_1+t_2}=6^{\frac{7-5log_63}{5} }=2\sqrt[5]{36}$

Hệ $\begin{cases}x+y+a=1                  (1)\\ 2^{a^2}.4^{x+y-xy}=2        (2) \end{cases}$
$(1) \Leftrightarrow  x+y=1-a$
$(2)\Leftrightarrow  2^{2(x+y-xy)}=2^{1-a^2}$
$\Leftrightarrow  2(x+y-xy)=1-a^2$
$\Leftrightarrow  x+y-xy=\frac{1-a^2}{2}$
$\Leftrightarrow  xy=1-a-\frac{1-a^2}{2}=\frac{a^2-2a+1}{2}$
Hệ$\Leftrightarrow  \begin{cases}x+y=1-a \\ xy=\frac{(1-a)^2}{2}  \end{cases}$
$\Leftrightarrow  x,y$  là hai nghiệm của phương trình
$t^2-(1-a)t+\frac{(1-a)^2}{2} =0              (3)$
$(3)$ có $\Delta =(1-a)^2-2(1-a)^2=-(1-a)^2$
Do đó : - Nếu $a\neq  1$ thì $\Delta <0,(3)$ nghiệm
$\Rightarrow$ Hệ  vô nghiệm.
- Nếu $a=1$ thì $(3)\Leftrightarrow  t^2=0\Leftrightarrow  t=0$
Hệ  có nghiệm duy nhất $x=y=0$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết