ta có:
x^{2}-x+\frac{1}{2}>0\forall x\in R
\Leftrightarrow 2(x^{2}-x+1)>1\forall x\in R
\Leftrightarrow 1-\sqrt{2(x^{2}-x+1)}<0\forall x\in R
từ đó
bpt \Leftrightarrow x-\sqrt{x}\leq 1-\sqrt{2(x^{2}-x+1)} ( x\geq 0)
đặt \sqrt{x}=t(t\geq 0)
pbt \Leftrightarrow \sqrt{2(t^{4}-t^{2}+1)}\leq -t^{2}+t+1 (*)
với t\in [0;\frac{1+\sqrt{5}}{2}]
(*) \Leftrightarrow t^{4}+2t^{3}-t^{2}-2t+1\leq 0
\Leftrightarrow ( t^{2}+t-1)^{2}\leq 0
\Leftrightarrow t^{2}+t-1=0
\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} t=\frac{\sqrt{5}-1}{2} (tm)\\ t=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} (loại) \end{matrix}} \right.
\Leftrightarrow x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} là nghiệm duy nhất của bất phương trình.