PT$\Leftrightarrow z^3-z^2-iz^2+3z+iz-3i=0$$\Leftrightarrow z^3-z^2+3z=iz^2-iz+3i$$\Leftrightarrow z(z^2-z+3)=i(z^2-z+3)$$\Leftrightarrow (z-i)(z^2-z+3)=0$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} z=i (1)\\ z^2-z+3=0 (2) \end{matrix}} \right.$(2)$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} z=\frac{1}{2}(1-i\sqrt{11})\\z=\frac{1}{2}(1+i\sqrt{11})\end{matrix}} \right.$

PT$\Leftrightarrow z^3-z^2-iz^2+3z+iz-3i=0$$\Leftrightarrow z^3-z^2+3z=iz^2-iz+3i$$\Leftrightarrow z(z^2-z+3)=i(z^2-z+3)$$\Leftrightarrow (z-i)(z^2-z+3)=0$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} z=i \\ z^2-z+3=0 (1) \end{matrix}} \right.$(1)$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} z=\frac{1}{2}(1-i\sqrt{11})\\z=\frac{1}{2}(1+i\sqrt{11})\end{matrix}} \right.$

ĐK : $x\geq 1$xét PT $y=x^2+4-2\sqrt{x-1}-\sqrt{5x-1}$$\Rightarrow y'=2x-\frac{1}{\sqrt{x-1}}-\frac{1}{2\sqrt{5x-1}}>0 \forall x> 1$$\Rightarrow min_y=y(1)=3>0$ vậy pt vô nghiệm

ĐK : $x\geq 1$xét PT $y=x^2+1-2\sqrt{x-1}-\sqrt{5x-1}$$\Rightarrow y'=2x-\frac{1}{\sqrt{x-1}}-\frac{1}{2\sqrt{5x-1}}>0 \forall x> 1$$\Rightarrow min_y=y(1)=0$ vậy pt có nghiệm duy nhất x=1

Đk : $\sin 4x\neq 0$Pt đã cho $\Leftrightarrow \frac{1-2\cos^2 x}{\sin x\cos x}+\frac{\cos 2x}{\sin x\cos x}+\cot^3 4x=3$$\Leftrightarrow \frac{1-2\cos^2 x+2\cos^2x-1}{\sin x\cos x}+\cot^34x=3$$\Leftrightarrow \cot^34x=3$$\Leftrightarrow \cot 4x=\sqrt{3}$$\Leftrightarrow 4x=\pi/6+k\pi$$\Leftrightarrow x=\pi/24+k\pi/4$

Đk : $\sin 4x\neq 0$Pt đã cho $\Leftrightarrow \frac{-\cos 2x}{\frac{1}{2}\sin 2x}+\frac{2\sin 2x}{cos 2x}+\cot^3 4x=3$$\Leftrightarrow \frac{2\sin^22x-2\cos^22x}{\sin 2x\cos 2x}+\cot^34x=3$$\Leftrightarrow \frac{-4\cos 4x}{\sin 4x}+\cot^34x=3$$\Leftrightarrow \cot^34x-4\cot 4x-3=0$$\Leftrightarrow (\cot 4x+1)(\cot^24x-\cot 4x-3)=0$

Đặt $t=\sin 2x;-1\leq t\leq 1$$\sin 6x=3\sin 2x-4\sin ^32x=3t-4t^3$Pt đã cho $\Leftrightarrow 4t^2+(3t-4t^3)^2(1-4t)$$\Leftrightarrow 4t^2+t^2(3-4t^2)^2(1-4t)=0$$\Leftrightarrow [\begin{matrix} t^2=0 (1)\\4+(3-4t^2)^2(1-4t)=0 (2)\end{matrix}$$(2)\Leftrightarrow -64t^5+16t^4+96t^3-24t^2-36t+13=0$$\Leftrightarrow -(2t-1)^2(16t^3+12t^2-16t-13)=0 (3)$Giải (1)(3) tìm nghiệm

Đặt $t=\sin 2x;-1\leq t\leq 1$$\sin 6x=3\sin 2x-4\sin ^32x=3t-4t^3$Pt đã cho $\Leftrightarrow 4t^2+(3t-4t^3)^2(1-4t)$$\Leftrightarrow 4t^2+t^2(3-4t^2)^2(1-4t)=0$$\Leftrightarrow [\begin{matrix} t^2=0 (1)\\4+(3-4t^2)^2(1-4t)=0 (2)\end{matrix}$$(2)\Leftrightarrow -64t^5+16t^4+96t^3-24t^2-36t+13=0$$\Leftrightarrow -(2t-1)^2(16t^3+12t^2-16t-13)=0 (3)$Giải (1)(3) tìm nghiệmChú ý nghiệm pt bậc 3 là nằm trong khoảng 1,01 đến 1,02 nên có thể dùng f(1,01).f(1,02)<0 để loại nghiệm

$\Leftrightarrow (2sin2x-sin6x)^2=0$ $\Leftrightarrow 2sin2x-(3sin2x-4sin^32x)=0$$\Leftrightarrow [\begin{matrix} sin2x=0\\ sin^22x=\frac{1}{4}\end{matrix}$đến đây quá dễ r :)

Đặt $t=\sin 2x;-1\leq t\leq 1$$\sin 6x=3\sin 2x-4\sin ^32x=3t-4t^3$Pt đã cho $\Leftrightarrow 4t^2+(3t-4t^3)^2(1-4t)$$\Leftrightarrow 4t^2+t^2(3-4t^2)^2(1-4t)=0$$\Leftrightarrow [\begin{matrix} t^2=0 (1)\\4+(3-4t^2)^2(1-4t)=0 (2)\end{matrix}$$(2)\Leftrightarrow -64t^5+16t^4+96t^3-24t^2-36t+13=0$$\Leftrightarrow -(2t-1)^2(16t^3+12t^2-16t-13)=0 (3)$Giải (1)(3) tìm nghiệm

$\int\limits_{0}^{1/4}$ $\sqrt{\frac{x}{1-2x}}$dx Đặt $ t =\sqrt{x}=> t^2=x=>2tdt=dx$x 0 1/4t 0 1/2= $\int\limits_{0}^{1/2}\frac{t.2t.dt}{\sqrt{1-2t^2}}$Đặt $t=\frac{1}{\sqrt{2}}sinu=>dt=\frac{1}{\sqrt{2}}cosu.du $t 0 1/2u 0 $\Pi/4$= $\int\limits_{0}^{\Pi/4}\frac{2(\frac{1}{\sqrt{2}}sinu)^2\frac{1}{\sqrt{2}}cosu.du}{\sqrt{1-sin^2u}}$= $\int\limits_{0}^{\Pi/4}sin^2u.\frac{1}{\sqrt{2}}.du$

$\int\limits_{0}^{1/4}$ $\sqrt{\frac{x}{1-2x}}$dx Đặt $ t =\sqrt{x}=> t^2=x=>2tdt=dx$x 0 1/4t 0 1/2= $\int\limits_{0}^{1/2}\frac{t.2t.dt}{\sqrt{1-2t^2}}$Đặt $t=\frac{1}{\sqrt{2}}sinu=>dt=\frac{1}{\sqrt{2}}cosu.du $t 0 1/2u 0 $\Pi/4$= $\int\limits_{0}^{\Pi/4}\frac{2(\frac{1}{\sqrt{2}}sinu)^2\frac{1}{\sqrt{2}}cosu.du}{\sqrt{1-sin^2u}}$= $\int\limits_{0}^{\Pi/4}sin^2u.\frac{1}{\sqrt{2}}.du$= $\frac{1}{\sqrt{2}}\int\limits_{0}^{\Pi/4}\frac{1-cos2x}{2}.du$=$\frac{1}{2\sqrt{2}}(u-\frac{1}{2}sin2u)|\begin{matrix} \Pi/4\\ 0 \end{matrix}$ =$\frac{\Pi-2}{8\sqrt{2}}$

Câu 1/ +$\overrightarrow{PA}=k\overrightarrow{PD}$$\Leftrightarrow \overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DA}=k\overrightarrow{PD}$$\Leftrightarrow\overrightarrow{DA}=(k-1)\overrightarrow{PD}\Rightarrow \overrightarrow{AD}=(k-1)\overrightarrow{DP}$ Tương tự $\overrightarrow{BC}=(k-1)\overrightarrow{CQ}\Rightarrow \overrightarrow{BC}=(1-k)\overrightarrow{QC}$ (1) +$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QB}$ Tương tự $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QC}$$\Rightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{QB}+\overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$ (2)+ $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CQ}$ $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BQ}$$\Rightarrow 2 \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CQ}+\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BQ}$ (3)+ $\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{CQ}+\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{BQ}$$=\overrightarrow{PD}+k\overrightarrow{PD}-(\overrightarrow{QC}+k\overrightarrow{QC})$ $=(k+1)\overrightarrow{PD}-(k+1)\overrightarrow{QC}$ (4)$(1)(2)(4)\Rightarrow(4)= \frac{k+1}{1-k}\overrightarrow{PD}+\frac{k+1}{1-k}\overrightarrow{CB}=\frac{k+1}{1-k}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC})$ (5)Từ (3)(5) => $2\overrightarrow{PQ}=\frac{k+1}{1-k}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC})+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$$=\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{1-k}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})$

Câu 1/a/+$\overrightarrow{PA}=k\overrightarrow{PD}$$\Leftrightarrow \overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DA}=k\overrightarrow{PD}$$\Leftrightarrow\overrightarrow{DA}=(k-1)\overrightarrow{PD}\Rightarrow \overrightarrow{AD}=(k-1)\overrightarrow{DP}$ Tương tự $\overrightarrow{BC}=(k-1)\overrightarrow{CQ}\Rightarrow \overrightarrow{BC}=(1-k)\overrightarrow{QC}$ (1) +$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QB}$ Tương tự $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QC}$$\Rightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{QB}+\overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$ (2)+ $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CQ}$ $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BQ}$$\Rightarrow 2 \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CQ}+\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BQ}$ (3)+ $\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{CQ}+\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{BQ}$$=\overrightarrow{PD}+k\overrightarrow{PD}-(\overrightarrow{QC}+k\overrightarrow{QC})$ $=(k+1)\overrightarrow{PD}-(k+1)\overrightarrow{QC}$ (4)$(1)(2)(4)\Rightarrow(4)= \frac{k+1}{1-k}\overrightarrow{PD}+\frac{k+1}{1-k}\overrightarrow{CB}=\frac{k+1}{1-k}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC})$ (5)Từ (3)(5) => $2\overrightarrow{PQ}=\frac{k+1}{1-k}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC})+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$$=\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{1-k}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})$ b/Cho I thuộc BD s/c : $\overrightarrow{IB}=k\overrightarrow{ID}$ Ta có $\frac{\overrightarrow{PA}}{\overrightarrow{IB}}=\frac{\overrightarrow{PD}}{\overrightarrow{ID}}\Rightarrow \overrightarrow{PI}}//{\overrightarrow{AB}$ $\Rightarrow {\overrightarrow{AB}//(PQI)}\Rightarrow \overrightarrow{AB}//\overrightarrow{PQ}$ => $\overrightarrow{PQ}$// mp chứa $\overrightarrow{AB}$

a/$3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$ =$3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GD}$ =$3(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OG})+(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})=0$(đpcm)b/$3MA^2+MB^2+MC^2+MD^2$$=3(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})^2+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})^2+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC})^2+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD})^2$ $=6MO^2+3OA^2+OB^2+OC^2+OD^2+2\overrightarrow{MO}(3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$ $=6MO^2+3OA^2+OB^2+OC^2+OD^2$ (đpcm)c/ $k^2=3MA^2+MB^2+MC^2+MD^2$$\Leftrightarrow k^2=6MO^2+3OA^2+OB^2+OC^2+OD^2$$\Leftrightarrow k^2=6MO^2+3OA^2+(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB})^2+(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC})^2+(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GD})^2$ $\Leftrightarrow k^2=6MO^2+3OA^2+3OG^2+2\overrightarrow{OG}(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})$$\Leftrightarrow k^2=6MO^2+3OA^2+3OG^2$ $\begin{cases}\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{GA} \\ \overrightarrow{OG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AG} \end{cases}$$\Rightarrow k^2=6MO^2+\frac{3}{2}AG^2$$\Leftrightarrow MO^2=\frac{1}{6}(k^2-\frac{3}{2}AG^2)$

a/$3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$ =$3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GD}$ =$3(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OG})+(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})=0$(đpcm)b/$3MA^2+MB^2+MC^2+MD^2$$=3(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})^2+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})^2+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC})^2+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD})^2$ $=6MO^2+3OA^2+OB^2+OC^2+OD^2+2\overrightarrow{MO}(3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$ $=6MO^2+3OA^2+OB^2+OC^2+OD^2$ (đpcm)c/ $k^2=3MA^2+MB^2+MC^2+MD^2$$\Leftrightarrow k^2=6MO^2+3OA^2+OB^2+OC^2+OD^2$$\Leftrightarrow k^2=6MO^2+3OA^2+(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB})^2+(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC})^2+(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GD})^2$ $\Leftrightarrow k^2=6MO^2+3OA^2+3OG^2+2\overrightarrow{OG}(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})$$\Leftrightarrow k^2=6MO^2+3OA^2+3OG^2$ $\begin{cases}\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{GA} \\ \overrightarrow{OG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AG} \end{cases}$$\Rightarrow k^2=6MO^2+\frac{3}{2}AG^2$$\Leftrightarrow MO^2=\frac{1}{6}(k^2-\frac{3}{2}AG^2)$ $+k^2<3/2AG^2 $ Quỹ tích M thuộc rỗng $+k^2=3/2AG^2$ Quỹ tích M là O$+k^2>3/2AG^2$ Quỹ tích M là đường tròn tâm 0, bán kính R=$\sqrt{\frac{1}{6}(k^2-\frac{3}{2}AG^2)}$

$x^5+y^5=(x+y)(x^4-x^3y-xy^3+x^2y^2+y^4)=[(x^2+y^2)^2-x^2y^2-xy(x^2+y^2)]=(x+y)(1-x^2y^2-xy)$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)[(x^2+y^2)-xy)=(x+y)(1-xy)$ VT=$|16(x+y)( 1-x^2y^2-xy)-20(x+y)(1-xy)+5(x+y)|$=$|(x+y)(16-16x^2y^2-16xy-20+20xy+5)|$=$|(x+y)(-16x^2y^2+4xy+1)|$ (1)Theo gt $x^2+y^2=1\Leftrightarrow (x+y)^2-2xy=1\Rightarrow \frac{(x+y)^2-1}{2}=xy$ Đặt t=x+y ($-\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}$) (1)=$|t(-16(\frac{t^2-1}{2})^2+4\frac{t^2-1}{2}+1)|$=$|-4t^5+10t^3-5t|$ Xét $ f(t)=-4t^5+10t^3-5t$ ($-\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}$) $f'(t)=-20t^4+30t^2-5=-5[(2t^2-\frac{3}{2})^2+\frac{11}{4}]<0 \forall t$ $\Rightarrow $hs đồng biến$t -\sqrt{2} 0 \sqrt{2} $$f'(t) | + |$$. | \sqrt{2} |$$. | 0 |$$f(t) |-\sqrt{2} |$$f(t)\in [-\sqrt{2} ;\sqrt{2}]\Rightarrow |(x+y)(-16x^2y^2+4xy+1)|\in [0;\sqrt{2}]$$\Rightarrow |16(x+y)( 1-x^2y^2-xy)-20(x+y)(1-xy)+5(x+y)|\leq \sqrt{2}$(đpcm)

$x^5+y^5=(x+y)(x^4-x^3y-xy^3+x^2y^2+y^4)=[(x^2+y^2)^2-x^2y^2-xy(x^2+y^2)]=(x+y)(1-x^2y^2-xy)$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)[(x^2+y^2)-xy)=(x+y)(1-xy)$ VT=$|16(x+y)( 1-x^2y^2-xy)-20(x+y)(1-xy)+5(x+y)|$=$|(x+y)(16-16x^2y^2-16xy-20+20xy+5)|$=$|(x+y)(-16x^2y^2+4xy+1)|$ (1)Theo gt $x^2+y^2=1\Leftrightarrow (x+y)^2-2xy=1\Rightarrow \frac{(x+y)^2-1}{2}=xy$ Đặt t=x+y ($-\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}$) (1)=$|t(-16(\frac{t^2-1}{2})^2+4\frac{t^2-1}{2}+1)|$=$|-4t^5+10t^3-5t|$ Xét $ f(t)=-4t^5+10t^3-5t$ ($-\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}$) $f'(t)=-20t^4+30t^2-5=-5[(2t^2-\frac{3}{2})^2+\frac{11}{4}]<0 \forall t$ $\Rightarrow $hs nghịch biến$t -\sqrt{2} 0 \sqrt{2} $$f'(t) | - |$$. |\sqrt{2} |$$. | 0 |$$f(t) | -\sqrt{2} |$$f(t)\in [-\sqrt{2} ;\sqrt{2}]\Rightarrow |(x+y)(-16x^2y^2+4xy+1)|\in [0;\sqrt{2}]$$\Rightarrow |16(x+y)( 1-x^2y^2-xy)-20(x+y)(1-xy)+5(x+y)|\leq \sqrt{2}$(đpcm)

$x^5+y^5=(x+y)(x^4-x^3y-xy^3+x^2y^2+y^4)=[(x^2+y^2)^2-x^2y^2-xy(x^2+y^2)]=(x+y)(1-x^2y^2-xy)$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)[(x^2+y^2)-xy)=(x+y)(1-xy)$ VT=$|16(x+y)( 1-x^2y^2-xy)-20(x+y)(1-xy)+5(x+y)|$=$|(x+y)(16-16x^2y^2-16xy-20+20xy+5)|$=$|(x+y)(-16x^2y^2+4xy+1)|$ (1)Theo gt $x^2+y^2=1\Leftrightarrow (x+y)^2-2xy=1\Rightarrow \frac{(x+y)^2-1}{2}=xy$ Đặt t=x+y ($-\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}$) (1)=$|t(-16(\frac{t^2-1}{2})^2+4\frac{t^2-1}{2}+1)|$=$|-4t^5+10t^3-5t|$ Xét $ f(t)=-4t^5+10t^3-5t$ ($-\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}$) $f'(t)=-20t^4+30t^2-5=-5[(2t^2-\frac{3}{2})^2+\frac{11}{4}]<0 \forall t$ $\Rightarrow $hs nghịch biến$t -\sqrt{2} 0 \sqrt{2} $$f'(t) | \sqrt{2} - |$$. | 0 |$$f(t) | -\sqrt{2}|$$f(t)\in [-\sqrt{2} ;\sqrt{2}]\Rightarrow |(x+y)(-16x^2y^2+4xy+1)|\in [0;\sqrt{2}]$$\Rightarrow |16(x+y)( 1-x^2y^2-xy)-20(x+y)(1-xy)+5(x+y)|\leq \sqrt{2}$(đpcm)

$x^5+y^5=(x+y)(x^4-x^3y-xy^3+x^2y^2+y^4)=[(x^2+y^2)^2-x^2y^2-xy(x^2+y^2)]=(x+y)(1-x^2y^2-xy)$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)[(x^2+y^2)-xy)=(x+y)(1-xy)$ VT=$|16(x+y)( 1-x^2y^2-xy)-20(x+y)(1-xy)+5(x+y)|$=$|(x+y)(16-16x^2y^2-16xy-20+20xy+5)|$=$|(x+y)(-16x^2y^2+4xy+1)|$ (1)Theo gt $x^2+y^2=1\Leftrightarrow (x+y)^2-2xy=1\Rightarrow \frac{(x+y)^2-1}{2}=xy$ Đặt t=x+y ($-\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}$) (1)=$|t(-16(\frac{t^2-1}{2})^2+4\frac{t^2-1}{2}+1)|$=$|-4t^5+10t^3-5t|$ Xét $ f(t)=-4t^5+10t^3-5t$ ($-\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}$) $f'(t)=-20t^4+30t^2-5=-5[(2t^2-\frac{3}{2})^2+\frac{11}{4}]<0 \forall t$ $\Rightarrow $hs đồng biến$t -\sqrt{2} 0 \sqrt{2} $$f'(t) | + |$$. | \sqrt{2} |$$. | 0 |$$f(t) |-\sqrt{2} |$$f(t)\in [-\sqrt{2} ;\sqrt{2}]\Rightarrow |(x+y)(-16x^2y^2+4xy+1)|\in [0;\sqrt{2}]$$\Rightarrow |16(x+y)( 1-x^2y^2-xy)-20(x+y)(1-xy)+5(x+y)|\leq \sqrt{2}$(đpcm)

a/$\begin{cases}SA⊥BC \\ AB⊥BC \end{cases}\Rightarrow BC ⊥(SAB)$$\begin{cases}SA⊥CD \\ AD⊥CD \end{cases}\Rightarrow CD ⊥(SAD)$ $\begin{cases}AC⊥BD \\ SA⊥BD \end{cases}\Rightarrow BD ⊥(SAC)$ b/$\begin{cases}AH⊥SB \\ AH⊥BC \end{cases}\Rightarrow AH ⊥(SBC)\Rightarrow AH⊥ SC$ (1)$ \begin{cases}AK⊥SD \\ AK⊥CD \end{cases}\Rightarrow AK ⊥(SCD)\Rightarrow AK ⊥SC$(2)(1)(2)=> SC⊥ (AHK) mặt khác SC ⊥AI =>AH,AK,AI đồng phẳngc/ $\begin{cases}SC⊥HK \\ AC⊥HK \end{cases}\Rightarrow HK⊥ (SAC)$ =>HK ⊥HI

a/$\begin{cases}SA⊥BC \\ AB⊥BC \end{cases}\Rightarrow BC ⊥(SAB)$$\begin{cases}SA⊥CD \\ AD⊥CD \end{cases}\Rightarrow CD ⊥(SAD)$ $\begin{cases}AC⊥BD \\ SA⊥BD \end{cases}\Rightarrow BD ⊥(SAC)$ b/$\begin{cases}AH⊥SB \\ AH⊥BC \end{cases}\Rightarrow AH ⊥(SBC)\Rightarrow AH⊥ SC$ (1)$ \begin{cases}AK⊥SD \\ AK⊥CD \end{cases}\Rightarrow AK ⊥(SCD)\Rightarrow AK ⊥SC$(2)(1)(2)=> SC⊥ (AHK) mặt khác SC ⊥AI =>AH,AK,AI đồng phẳngc/ $\begin{cases}SC⊥HK \\ AC⊥HK \end{cases}\Rightarrow HK⊥ (SAC)$ =>HK ⊥HId/$S_ {AHIK}=2S_{AIK}=JK.AI$ với $J=AI\cap HK$$JK=\frac{1}{4} BD=\frac{a\sqrt{2}}{4}$$\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AI^2}\Rightarrow AI=\sqrt{\frac{6}{5}}a$ => S(AHIK)

a/$3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$ =$3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GD}$ =$3(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OG})+(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})=0$(đpcm)b/$3MA^2+MB^2+MC^2+MD^2$$=3(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})^2+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})^2+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC})^2+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD})^2$ $=6MO^2+3OA^2+OB^2+OC^2+OD^2+2\overrightarrow{MO}(3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$ $=6MO^2+3OA^2+OB^2+OC^2+OD^2$ (đpcm)c/ $k^2=3MA^2+MB^2+MC^2+MD^2$$\Leftrightarrow k^2=6MO^2+3OA^2+OB^2+OC^2+OD^2$$\Leftrightarrow k^2=6MO^2+3OA^2+(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB})^2+(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC})^2+(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GD})^2$ $\Leftrightarrow k^2=6MO^2+3OA^2+3OG^2+2\overrightarrow{OG}(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})$$\Leftrightarrow k^2=6MO^2+3OA^2+3OG^2$ $\begin{cases}\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{GA} \\ \overrightarrow{OG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AG} \end{cases}$$\Rightarrow k^2=6MO^2+\frac{3}{2}AG^2$$\Leftrightarrow \overrightarrow{MO}=\frac{1}{6}(k^2-\frac{3}{2}AG^2)$

a/$3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$ =$3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GD}$ =$3(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OG})+(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})=0$(đpcm)b/$3MA^2+MB^2+MC^2+MD^2$$=3(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})^2+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})^2+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC})^2+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD})^2$ $=6MO^2+3OA^2+OB^2+OC^2+OD^2+2\overrightarrow{MO}(3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$ $=6MO^2+3OA^2+OB^2+OC^2+OD^2$ (đpcm)c/ $k^2=3MA^2+MB^2+MC^2+MD^2$$\Leftrightarrow k^2=6MO^2+3OA^2+OB^2+OC^2+OD^2$$\Leftrightarrow k^2=6MO^2+3OA^2+(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB})^2+(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC})^2+(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GD})^2$ $\Leftrightarrow k^2=6MO^2+3OA^2+3OG^2+2\overrightarrow{OG}(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})$$\Leftrightarrow k^2=6MO^2+3OA^2+3OG^2$ $\begin{cases}\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{GA} \\ \overrightarrow{OG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AG} \end{cases}$$\Rightarrow k^2=6MO^2+\frac{3}{2}AG^2$$\Leftrightarrow MO^2=\frac{1}{6}(k^2-\frac{3}{2}AG^2)$

kéo dài OC cắt AB tại Ita có CI vuông góc AB (ABC là tam giác đều, CI là trung tuyến cũng là dg cao)và C'O vuông góc AB (O là hc của C ' lên (ABC), C'O vuông góc (ABC) nên C 'O vuông góc AB)=> AB vuông góc (CC'O)=> CI là hình chiếu của CB lên (CC'O)=> góc tạo bởi 2mp (CC'O) và (CC'B) bằng góc giữa (CI,CB)= $\widehat{ICB}$

kéo dài OC cắt AB tại Ita có CI vuông góc AB (ABC là tam giác đều, CI là trung tuyến cũng là dg cao)và C'O vuông góc AB (O là hc của C ' lên (ABC), C'O vuông góc (ABC) nên C 'O vuông góc AB)=> AB vuông góc (CC'O)=> CI là hình chiếu của CB lên (CC'O)=> góc tạo bởi 2mp (CC'O) và (CC'B) bằng góc giữa (CI,CB)=$\widehat{ICB}$từ I kẻ IH vuông góc CC'; từ O kẻ OK vuông góc CC'I,O,C,C' đồng phẳng nên OK = khoảng cách O đến CC' = a;IH vuông góc CC'; IH vuông góc AB (vì AB vuông góc (OCC'))=> IH = khoảng cách (AB;CC')xét tam giác IHC có IH // OK; $\frac{CO}{CI}=\frac{OK}{IH}=\frac{2}{3}$ => IH=$\frac{3}{2}$.OK= $\frac{3}{2}a$

kéo dài OC cắt AB tại Ita có CI vuông góc AB (ABC là tam giác đều, CI là trung tuyến cũng là dg cao)và C'O vuông góc AB (O là hc của C ' lên (ABC), C'O vuông góc (ABC) nên C 'O vuông góc AB)=> AB vuông góc (CC'O)=> CI là hình chiếu của CB lên (CC'O)=> góc tạo bởi 2mp (CC'O) và (CC'B) bằng góc giữa (CI,CB)=$\widehat{ICB}$

kéo dài OC cắt AB tại Ita có CI vuông góc AB (ABC là tam giác đều, CI là trung tuyến cũng là dg cao)và C'O vuông góc AB (O là hc của C ' lên (ABC), C'O vuông góc (ABC) nên C 'O vuông góc AB)=> AB vuông góc (CC'O)=> CI là hình chiếu của CB lên (CC'O)=> góc tạo bởi 2mp (CC'O) và (CC'B) bằng góc giữa (CI,CB)= $\widehat{ICB}$

Câu 2/ Vì đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn lớn của mặt cầu => tâm I(-a,-b,-c) thuộc mp chứa A.B.CPt mặt cầu$ (S) x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0$

Câu 2/ Vì đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn lớn của mặt cầu => tâm I(-a,-b,-c) thuộc mp chứa A.B.C$\overrightarrow{AB}=(-3;0;3) \overrightarrow{AC}=(1;-1;-4)$$[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}]=3(-1;-5;1)$Pt mặt phẳng (ABC):-x-5y+z+9=0Pt mặt cầu$ (S) x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0; I(-a,-b,-c)$Ta có hệ pt$\begin{cases}\begin{matrix} I\in (ABC)\\ A\in (S)\end{matrix} \\ \begin{matrix} B\in (S)\\ C\in (S)\end{matrix}\end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases}\begin{matrix} a+5b- c=-9\\-2a+6b+10c+d=-35 \end{matrix} \\\begin{matrix} -8a+6b+4c+d=-29\\ 4b+2c+d=-5 \end{matrix} \end{cases}$ giải ra $a=\frac{5}{3};b=\frac{-8}{3};c=\frac{-8}{3};d=11$