Bài 2:
Nhận xét: Tương tự như bài 1, do tính đối xứng thì ta sẽ đưa về biến c. Ở bài toán này ta cũng dùng bất đẳng thức ở mẫu và áp dụng các BĐT phụ sau:
x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}\geq 2xy
Lời giải chi tiết:
Áp dụng BĐT Cauchy ta có :
\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}\geq \frac{a}{(b+c)^2+\frac{5}{4}(b+c)^2}=\frac{4a^2}{9(b+c)^2}
Tương tự ta cũng có :
\frac{b^2}{(c+a)^2+5ca}\geq \frac{4b^2}{9(c+a)^2}
Suy ra:
\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{b^2}{(a+c)^2+5ca}\geq \frac{4}{9}(\frac{a^2}{(b+c)^2}+\frac{b^2}{(c+a)^2})
\geq \frac{2}{9}\left ( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a} \right )^2=\frac{2}{9}\left ( \frac{a^2+b^2+c(a+b)}{ab+c(a+b)+c^2} \right )^2
\geq \frac{2}{9}\left ( \frac{\frac{(a+b)^2}{2}+c(a+b)}{\frac{(a+b)^2}{4}+c(a+b)+c^2} \right )^2=\frac{2}{9}\left ( \frac{2(a+b)^2+4c(a+b)}{(a+b)^2+4c(a+b)+4c^2} \right )^2
Vì a+b+c=1\Leftrightarrow a+b=1-c nên
P\geq \frac{2}{9}\left ( \frac{2(1-c)^2+4c(1-c)}{(1-c)^2+4c(1-c)+4c^2} \right )^2-\frac{3}{4}(1-c)^2=\frac{8}{9}\left ( 1-\frac{2}{c+1} \right )^2-\frac{3}{4}\left ( 1-c \right )^2(1)
Xét hàm số f(c)=\frac{8}{9}\left ( 1-\frac{2}{1+c} \right )^2-\frac{3}{4}(1-c)^2 với c\in (0;1)
Ta có :
f'(c)=\frac{16}{9}\left ( 1-\frac{2}{1+c} \right ).\frac{2}{(c+1)^2}-\frac{3}{2}(1-c)
f'(c)=0\Leftrightarrow (c-1)(64-(3c+3)^3)=0\Leftrightarrow c=\frac{1}{3}
BBT:
Dự vào BBT ta có : f(c)\geq -\frac{1}{9} với mọi c\in (0;1)(2)
từ (1) và (2) Suy ra P\geq -\frac{1}{9} dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a=b=c=\frac{1}{3}