Ta có thể viết phương trình thành:$\Leftrightarrow sinA(2cosA+cosC)=sinB(2cosB+cosC)$$\Leftrightarrow sin2A+sinAcosC=sin2B+sinBcosC$$\Leftrightarrow sin2A-sin2B=cosC(sinB-sinA)$$\Leftrightarrow 2sin(A-B)cos(A+B)=cosC.2sin\frac{B-A}{2}cos\frac{B+A}{2}$$\Leftrightarrow -2cosCsin(A-B)+cosC.2cos\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}=0$$\Leftrightarrow 2cosC.sin\frac{A-B}{2}(cos\frac{A+B}{2}-cos\frac{A-B}{2})=0Thấy rõ: cos\frac{A+B}{2}-cos\frac{A-B}{2}<0$ (1) Do nếu $x<y$ mà ($0<x;y<\pi) thì cos x> cos y. Ta lại có \left| {\frac{A-B}{2}} \right|<\frac{A+B}{2} và cos\frac{A-B}{2}=cos\frac{B-A}{2}$ (2) nên nếu A-B>0 ta dể dàng suy ra (1), nếu A-B<0 tức B-A>0 suy ra cos\frac{B-A}{2}>\frac{A+B}{2} mà ta lại có (2) nên dể dàng suy ra (1)Suy ra: $\Rightarrow cosC=0$ hoặc $sin\frac{A-B}{2}=0$$\Leftrightarrow C=\frac{\pi }{2}$ hoặc $A=B$Vậy tam giác ABC vuông hoặc cân ở C
Ta có thể viết phương trình lại thành:$\sin A\left(2\cos A+\cos C\right)=\sin B\left(2\cos B+\cos C\right)\\\Leftrightarrow \sin2A+\sin A\cos C=\sin2B+\sin B\cos C\\\Leftrightarrow \sin2A-\sin2B=\cos C\left(\sin B-\sin A\right)\\\Leftrightarrow 2\sin(A-B)\cos(A+B)=\cos C\times2\sin\dfrac{B-A}{2}\cos\dfrac{B+A}{2}\\\Leftrightarrow -2\cos C\sin(A-B)+\cos C\times2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}=0\\\Leftrightarrow 2\cos C\sin\dfrac{A-B}{2}\left(\cos\frac{A+B}{2}-\cos\frac{A-B}{2}\right)=0Thấy rõ: \cos\frac{A+B}{2}-\cos\frac{A-B}{2}<0\,\,(1)$ Do nếu x \cos y. Ta lại có \left| {\frac{A-B}{2}} \right|<\frac{A+B}{2} và $cos\frac{A-B}{2}=cos\frac{B-A}{2}\,\,(2)$ nên nếu A-B>0 ta dể dàng suy ra $(1),$ nếu A-B<0 tức B-A>0 suy ra cos\frac{B-A}{2}>\frac{A+B}{2} mà ta lại có $(2)$ nên dể dàng suy ra $(1)$$\Rightarrow \left[\begin{array}{1}\cos C=0 \\\sin\dfrac{A-B}{2}=0 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{1}C=\dfrac{\pi}{2} \\A=B \end{array}\right.$Vậy: $\Delta ABC$ vuông hoặc cân ở $C.$