Câu1: Giả sử $\sqrt{6} $ là số hữu tỉ thì:
$\sqrt{6} =\frac{m}{n}$ (Với $m\in Z, n\in N^*, (m,n)=1)$. (1)
$\leftrightarrow 6=\frac{m^2}{n^2}\leftrightarrow n^2=\frac{m^2}{6}\rightarrow m^2 $chia hết cho $6$.
$\rightarrow m$ chia hết cho $6\rightarrow m$ chia hết cho $2$ . (*)
Đặt $m=6k$, ta có: $\frac{(6k)^2}{n^2}=6\leftrightarrow n^2=6k^2\rightarrow n^2$ chia hết cho $ \rightarrow n^2$ chia hết cho $2\rightarrow n$ chia hết cho 2 (2*)
(*), (2*)$\rightarrow UC(m,n)= 2 (2)$
(1), (2)$\rightarrow $ điều giả thiết là vô lí
---> dpcm
Câu 2: ĐKXĐ: $x\geq 1$
PT đã cho
$\leftrightarrow \sqrt{(x-1)+2.1.\sqrt{x-1}+1 } -\sqrt{(x-1)-2.1.\sqrt{x-1} +1}=2 $
$\leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x-1} +1)^2} -\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2 } =2$
$\leftrightarrow \sqrt{x-1} +1-|\sqrt{x-1} -1|=2$(*)
(*)$\begin{cases}\sqrt{x-1}+1 -\sqrt{x-1}+1=2(đúng) \\ \sqrt{x-1}-1\geq0\end{cases}\leftrightarrow x\geq 2$
hay: (*)$\leftrightarrow \begin{cases}\sqrt{x-1} +1+\sqrt{x-1} -1=2 \\ \sqrt{x-1}-1\leq 0\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}\sqrt{x-1} =1 \\ x\leq 2\end{cases}\leftrightarrow x=2$
Vậy: $x\geq 2$
Câu 3:
$\sqrt{(x-1)(4-x)} >x-2\leftrightarrow (I)\begin{cases}(x-1)(4-x)\geq 0\\ x-2\leq 0 \end{cases}$
hay $\leftrightarrow (II)\begin{cases}(x-1)(4-x)\geq 0\\ x-2\geq 0 \\ (x-1)(4-x)>(x-2)^2\end{cases}$
Ta thấy: $(I)\leftrightarrow \begin{cases}x\in [1;4] \\ x\leq 2\end{cases}\leftrightarrow x\in [1;2]$
$(II)\leftrightarrow \begin{cases}x\in [1;4] \\ x\geq 2\\-x^2+5x-4>x^2+4x+4\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}x\in [2;4] \\ 2x^2-x+8<0 \end{cases}$(vô nghiệm)
Vậy $x\in [1;2]$