Ta có pt hoành độ giao điểm của (C) và d là:
$x^3-(m+1)x^2+x+2m+1=x+m+1\Leftrightarrow x^3-(m+1)x^2+m=0\Leftrightarrow (x-1)(x^2-mx-m)=0 (1)$
$\Leftrightarrow \left[\begin {gathered}x=1\\x^2-mx-m=0 (2)\end{gathered} \right.$
Để (C) cắt (d) tại 3 điểm pb A,B,C thì pt (1) phải có 3 nghiệm pb hay pt (2) có 2 nghiệm pb khác 1
Điều kiện: $\begin{cases}m^2+4m>0 \\ 1-m-1\neq 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m<-4\veebar m>0\\ m\neq 0\end{cases}\Leftrightarrow m<-4\veebar m>0 (*)$
Gọi $A(1,m+2), B(x_1;x_1+m+1), C(x_2;x_2+m+1)$
Do $x_1, x_2$ là nghiệm của pt (2) nên theo vi-et ta có: \begin{cases}x_1+x_2=m \\ x_1.x_2=-m \end{cases}
Ta có $y'=3x^2-2(m+1)x+1\Rightarrow $ Hệ số góc của tiếp tuyến tại A, B, C lần lượt là:
$y'(1)=2-2m$
$y'(x_1)=3x_1^2-2(m+1)x_1+1$
$y'(x_2)=3x_2^2-2(m+1)x_2+1$
Theo giả thiết ta có: $y'(1)+y'(x_1)+y'(x_2)=12$
$\Leftrightarrow 2-2m+3x_1^2-2(m+1)x_1+1+3x_2^2-2(m+1)x_2+1=12$
$\Leftrightarrow 3(x_1^2+x_2^2)-2(m+1)(x_1+x_2)+4-2m=12$
$\Leftrightarrow m^2+2m-8=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin {gathered}m=2 TM(*)\\m=-4 không TM (*)\end{gathered} \right.$
Vậy với $m=2$ thì yêu cầu bài toán được thỏa mãn.