Bài 1: Cho a,b,c dương và a+b+c=1. CMR :

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương , ta có :
$ \frac{a+b+c}{b+c}+ \frac{a+b+c}{a+b}+ \frac{a+b+c}{a+c}$
=$ (a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})\geq (a+b+c)\times 3\sqrt[3]{\frac{1}{(b+c)(a+b)(a+c)}}$ (1)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương , ta có :
$(b+c)(a+b)(a+c)\leq \frac{(b+c+a+b+a+c)^{3}}{27}=\frac{(2a+2b+2c)^{3}}{27} $
                                                                                                             $= \frac{8(a+b+c)^{3}}{27}$ (2)
Thay (2) vào (1) ta được :
$ \frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{a+c}\geq (a+b+c)\times 3\sqrt[3]{\frac{27}{8(a+b+c)^{3}}}$
$<=>\frac{a+b+c}{b+c}+ \frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{a+c}\geq (a+b+c)\times 3\times \frac{3}{2(a+b+c)}$
$<=>\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{a+c}+1+\frac{c}{a+b}+1\geq \frac{9}{2}$
$<=>\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c

Ta có :
$ \left ( x-y \right )^{2} \geq 0$
$ <=> x^{2} + y^{2} - 2xy \geq 0$
$ <=> 2xy \leq x^{2} + y^{2}$
Mà $ x^{2} + y^{2} = 1$
$ => 2xy \leq 1$
$ <=> x^{2} + y^{2} + 2xy \leq 2$
$ <=> \left ( x + y \right )^{2} \leq 2$
$ => x +y \leq\sqrt{2} $
Đẳng thức xảy ra <=> $ x = y = \frac{1}{\sqrt{2}}$