Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : $(y+\sqrt{yz}+z)^2=(\sqrt{y}.\sqrt{y}+\sqrt{yz}+\sqrt{z}\sqrt{z})^2\leq (x+y+z)(y+2z)$ Do đó ta có $\frac{2x^2+xy}{y+z+\sqrt{yz}}\geq \frac{2x^2+xy}{(x+y+z)(y+2z)}=\frac{1}{x+y+z}(\frac{2x^2+xy}{y+2z}+x-x)=\frac{1}{x+y+z}.(\frac{2x^2+2xy+2xz}{y+2z}-x)=\frac{2x}{y+2z}-\frac{x}{x+y+z}$ Chứng minh tương tự cho các phân thức còn lại ta có VT $\geq \frac{2x}{y+2z}+\frac{2y}{z+2x}+\frac{2z}{x+2y}-1$Áp dụng dồn mẫu ta có $\frac{2x^2}{xy+2xz}+\frac{2y^2}{yz+2xy}+\frac{2z^2}{xz+2yz\geq \frac{2(x+y+z)^2}{3(xy+xz+yz)}}\geq 1$

Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : $(y+\sqrt{yz}+z)^2=(\sqrt{y}.\sqrt{y}+\sqrt{yz}+\sqrt{z}\sqrt{z})^2\leq (x+y+z)(y+2z)$ Do đó ta có $\frac{2x^2+xy}{y+z+\sqrt{yz}}\geq \frac{2x^2+xy}{(x+y+z)(y+2z)}=\frac{1}{x+y+z}(\frac{2x^2+xy}{y+2z}+x-x)=\frac{1}{x+y+z}.(\frac{2x^2+2xy+2xz}{y+2z}-x)=\frac{2x}{y+2z}-\frac{x}{x+y+z}$ Chứng minh tương tự cho các phân thức còn lại ta có VT $\geq \frac{2x}{y+2z}+\frac{2y}{z+2x}+\frac{2z}{x+2y}-1$Áp dụng dồn mẫu ta có $\frac{2x^2}{xy+2xz}+\frac{2y^2}{yz+2xy}+\frac{2z^2}{xz+2yz} \geq \frac{2(x+y+z)^2}{3(xz+xz+yz)} \geq 2$Do đó VT $\geq (2-1)=1$