Giải thử xem đúng không nhé! Không đúng đừng spam đấy!Đặt vế trái là P ta có : $P=\sum \frac{a^2+3b^2}{a+3b}=\sum (\frac{3}{4}a+\frac{1}{4}b+\frac{(a-b)^2}{a+3b}) $$P=a+b+c+\sum \frac{(a-b)^2}{a+3b} $.Cần chứng minh : $P=a+b+c+\sum\frac{(a-b)^2}{a+3b} \geq 3 $Giả sử tồn tại $m>0$ sao cho $a+3b< m(a+b+c) \Rightarrow \frac{(a-b)^2}{a+3b} \geq \frac{(a-b)^2}{m(a+b+c)} $Tương tự cho 3 phân thức còn lại ta có : $\sum \frac{a^2+3b^2}{a+3b} \geq \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{m(a+b+c)} $Ta có : $a+b+c+\sum \frac{(a-b)^2}{a+3b} \geq a+b+c+\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{m.(a+b+c)}=A$ Cần chứng minh $A \geq 3 \Leftrightarrow a+b+c+............... \geq 3$.$\Leftrightarrow m(a+b+c)^2+2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)\geq 3m (a+b+c)$$\Leftrightarrow (2+m)(a^2+b^2+c^2)+(2m-2)(ab+ac+bc)\geq 3m(a+b+c)$ $(*)$Lại có $a+b+c \leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} =3 \Rightarrow 3m(a+b+c) \leq 9m$Cần chứng minh $(2+m).3+(2m-2)(ab+bc+ca)\geq 9m \Leftrightarrow (2m-2)(ab+ac+bc) \geq 6m-6$$\Leftrightarrow ab+ac+bc \geq 3\Rightarrow ab+ac+bc \geq a^2+b^2+c^2$ $??????????$Sao lại ra sai nhỉ ???? Ai biết tại sao không vậy????

Giải thử xem đúng không nhé! Không đúng đừng spam đấy!Đặt vế trái là P ta có : $P=\sum \frac{a^2+3b^2}{a+3b}=\sum (\frac{3}{4}a+\frac{1}{4}b+\frac{(a-b)^2}{a+3b}) $$P=a+b+c+\sum \frac{(a-b)^2}{a+3b} $.Cần chứng minh : $P=a+b+c+\sum\frac{(a-b)^2}{a+3b} \geq 3 $Giả sử tồn tại $m>0$ sao cho $a+3b< m(a+b+c) \Rightarrow \frac{(a-b)^2}{a+3b} \geq \frac{(a-b)^2}{m(a+b+c)} $Tương tự cho 3 phân thức còn lại ta có : $\sum \frac{a^2+3b^2}{a+3b} \geq \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{m(a+b+c)} $Ta có : $a+b+c+\sum \frac{(a-b)^2}{a+3b} \geq a+b+c+\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{m.(a+b+c)}=A$ Cần chứng minh $A \geq 3 \Leftrightarrow a+b+c+............... \geq 3$.$\Leftrightarrow m(a+b+c)^2+2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)\geq 3m (a+b+c)$$\Leftrightarrow (2+m)(a^2+b^2+c^2)+(2m-2)(ab+ac+bc)\geq 3m(a+b+c)$ $(*)$Lại có $a+b+c \leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} =3 \Rightarrow 3m(a+b+c) \leq 9m$Cần chứng minh $(2+m).3+(2m-2)(ab+bc+ca)\geq 9m \Leftrightarrow (2m-2)(ab+ac+bc) \geq 6m-6$$\Leftrightarrow ab+ac+bc \geq 3\Rightarrow ab+ac+bc \geq a^2+b^2+c^2$ $??????????$Sao lại ra sai nhỉ ???? Ai biết tại sao không vậy????Bất đẳng thức tổng quát sau có đúng không nhỉ???? Cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=k$. Chứng minh rằng : $$\sum \frac{a^2+kb^2}{a+kb} \geq k $$

ĐK:.......................$(1)\Leftrightarrow x^2-xy-2y^2-(x+y)=0\Leftrightarrow (x+y)(x-2y)-(x+y)=0\Leftrightarrow (x+y)(x-2y-1)=0$$\Leftrightarrow x=-y$ Hoặc $x-2y-1=0$Thế vào (2) và tự giải nốt nhé!

ĐK:.......................$(1)\Leftrightarrow x^2-xy-2y^2-(x+y)=0\Leftrightarrow (x+y)(x-2y)-(x+y)=0\Leftrightarrow (x+y)(x-2y-1)=0$$\Leftrightarrow x=-y$ Hoặc $x-2y-1=0$Từ Pt $(2)$ ta có : $x\geq 1; y\geq 0$. Mà $x=-y$ nên $y<0$ do đó loại trường hợp này!Do đó $2y=x+1$Thế vào $(2)$ và giải nốt nhé!