trong buổi liên hoan mới sẽ không ít hơn k(m − 1), mà mỗi học sinh trong buổi liên hoan mới sẽ trao đổi kinh nghiệm học tập với A hoặc B (vì A và B không trao đổi học tập với nhau), suy ra k(m) ≥ k(m − 1) + 2(m − 1). Do đó k(m) ≥ m(m − 1) với mỗi số nguyên dương m>1. (1) Với mỗi số nguyên dương m>1, ta xét một buổi giao lưu gồm 2m học sinh như sau: Các học sinh trong buổi giao lưu thuộc một trong hai nhóm (gọi là X và Y). Nhóm X gồm m học sinh có trao đổi học tập từng đôi một, nhóm Y gồm m học sinh có trao đổi học tập từng đôi một. Mỗi học sinh của nhóm này đều không có trao đổi học tập với bất kỳ một học sinh nào của nhóm kia. Rõ ràng trong buổi giao lưu này, cứ 3 học sinh bất kỳ, đều có ít nhất một cặp đôi gồm hai học sinh có trao đổi kinh nghiệm học tập với nhau và số cặp đôi trao đổi học tập với nhau bằng m(m-1). Suy ra k(m) ≤ m(m − 1) với mỗi số nguyên dương m>1. (2) Từ (1) và (2) suy ra k(m) = m(m − 1) với mỗi số nguyên dương m>1. Trở lại bài toán ban đầu. Theo trên ta có giá trị k bé nhất là k(21)=420

Do một trong 3 chữ số đầu tiên bằng 1 nên a=1 hoặc b=1 hoặc c=1

+) TH1: a=1. Có 1 cách chọn a duy nhất a=1.

Có 7 cách chọn b

Có 6 cách chọn c

........................

Có 4 cách chọn e

$\Rightarrow $ Số các số lập được thỏa mãn là 1.7.6.5.4=840 số

+) TH2: b=1.  Có 1 cách chọn b duy nhất

Do $a\neq 0$  nên a chỉ có 6 cách chọn

Có 6 cách chọn c

Có 5 cách chọn d

Có 4 cách chọn e

$\Rightarrow $ Số các số lập được trong TH này là 1.6.6.5.4=720 số

+) TH3: c=1 thì tương tự TH2

Vậy số các số lập được là : 840+720.2=2280 số

Do số tự nhiên cần lập là số chẵn nên $e\in {0;2;4;6}\Rightarrow $ Có 4 cách chọn e

+) Có 6 cách chọn a do $a\neq 0$

+) Có 6 cách chọn b

+) Có 5 cách chọn c

+) Có 4 cách chọn d

Vậy lập được tất cả $6.6.5.4.4=2880$ số