Ta có: $a-\frac{a^3+ab^2}{a^2+b+b^2}=\frac{ab}{a^2+b+b^2}\Rightarrow \frac{a^3+ab^2}{a^2+b+b^2}=a-\frac{ab}{a^2+b+b^2}(*)$
Ta có: $VT=\sum(a-\frac{ab}{a^2+b+b^2})\geq \sum(a-\frac{ab}{b+2ab})=\sum(a-\frac{a}{2a+1})$
$VT\geq \sum\frac{2a^2}{2a+1}$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schawrt$ ta có: $VT\geq \frac{2(a+b+c)^2}{2(a+b+c)+3}=2$
Vậy Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1