Ta có:$ \frac{a^{2}}{3}+ b^{2}+c^{2}> ab+bc+ac$
$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}-a(b+c)-bc> 0$
$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{3}+(b+c)^{2}-a(b+c)-3bc> 0 (*)$
Thay $bc=\frac{1}{a}$ ta được:
$(*)\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{3}+(b+c)^{2}+a(b+c)-\frac{3}{a}>0$
$\Leftrightarrow a(b+c)^{2}-a^{2}(b+c)+\frac{a^{3}}{3}-3>0 $
Đặt $b+c=x$ ta có:
$ax^{2}-a^{2}x+\frac{a^{3}}{3}-3>0 $ với mọi x
$\Leftrightarrow \Delta = a^{4}-4a(\frac{a^{3}}{3}-3)<0$
$\Leftrightarrow a^{4}-\frac{4a^{4}}{3}+12a<0$
$12a(36-a^{3}) <0$ đúng vì $a^{3}>36$$\Rightarrow $ đpcm