$2cotA=cotB+cotC\Leftrightarrow 2\frac{cosA}{sinA}=\frac{cosB}{sinB}+\frac{cosC}{sinC}\Leftrightarrow 2\frac{cosA}{a}+\frac{cosB}{b}+\frac{cosC}{c}\Leftrightarrow 2(b^{2}+c^{2}-a^{2})=2a^{2}\Leftrightarrow 2a^{2}=b^{2}+c^{2}$(Đúng theo gt).

$2cotA=cotB+cotC\Leftrightarrow 2\frac{cosA}{sinA}=\frac{cosB}{sinB}+\frac{cosC}{sinC}\Leftrightarrow 2\frac{cosA}{a}=\frac{cosB}{b}+\frac{cosC}{c}\Leftrightarrow 2(b^{2}+c^{2}-a^{2})=2a^{2}\Leftrightarrow 2a^{2}=b^{2}+c^{2}$(Đúng theo gt).

Gợi ý:Điều kiện: $-1\leq x\leq 1$$(1)\Leftrightarrow2y^{3}+y=2(1-x)\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x}$.y<0 PT vô nghiệm $\Rightarrow y\geq0$Xét hàm số :$f(t)=2t^{3}+t$ trên $R^{*}$Ta có:$f'(t)= 6t^{2}+1>0,\forall t \in R$ Từ đó f(t) đồng biến trên R+Từ $(1) \Leftrightarrow f(y)=f(\sqrt{1-x})\Leftrightarrow \sqrt{1-x}=y$.Thế vào (2) ta được $\sqrt{1-x^{2}} =2x^{2} -1+2x\sqrt{1-x^{2}}$.Đến đây bạn đặt x=cost,$t\in \left[ 0;\pi {} \right]$ Giải ra ta được $x=cos\frac{3\pi }{10}$;$y=\sqrt{2}sin\frac{3\pi }{10}$

Gợi ý:Điều kiện: $-1\leq x\leq 1$$(1)\Leftrightarrow2y^{3}+y=2(1-x)\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x}$.y<0 PT vô nghiệm $\Rightarrow y\geq0$Xét hàm số :$f(t)=2t^{3}+t$ trên $R^{*}$Ta có:$f'(t)= 6t^{2}+1>0,\forall t \in R^{*}$ .Từ đó f(t) đồng biến trên R+Từ $(1) \Leftrightarrow f(y)=f(\sqrt{1-x})\Leftrightarrow \sqrt{1-x}=y$.Thế vào (2) ta được $\sqrt{1-x^{2}} =2x^{2} -1+2x\sqrt{1-x^{2}}$.Đến đây bạn đặt x=cost,$t\in \left[ 0;\pi {} \right]$ Giải ra ta được $x=cos\frac{3\pi }{10}$;$y=\sqrt{2}sin\frac{3\pi }{10}$

Điều kiện: $x^{2}-2y-1\geq 0$(PT1)$\Leftrightarrow \left ( x -y\right )(x^{2}-2y)=0\Leftrightarrow x=y\vee x^{2}-2y=0$(loại)Thế x=y vào (PT2) ta được: $2\sqrt{x^{2}-2x-1}+\sqrt[3]{x^{3}-14}=x-2$Đặt $u=2-x;v=\sqrt{x^{2}-2x-1} (v\geq 0)$ Khi đó,ta có:$2v-\sqrt[3]{u^{3}-6v}=-u\Leftrightarrow u^{3}-6v=(2v+u)^{3}\Leftrightarrow 8v^{3}+12v^{2}u+6u^{2}v+6v=0\Leftrightarrow v\left[v^{2} +3(u+v)^{2}+3v{} \right]=0\Leftrightarrow v =0\vee v=0\wedge u+v=0\Leftrightarrow v=0$(Trường hợp còn lại loại do u=v=0 vô nghiệm) $\Leftrightarrow x^{2}-2x-1=0\Leftrightarrow x=1\pm\sqrt{2}.$

Điều kiện: $x^{2}-2y-1\geq 0$(PT1)$\Leftrightarrow \left ( x -y\right )(x^{2}-2y)=0\Leftrightarrow x=y\vee x^{2}-2y=0$(loại)Thế x=y vào (PT2) ta được: $2\sqrt{x^{2}-2x-1}+\sqrt[3]{x^{3}-14}=x-2$Đặt $u=2-x;v=\sqrt{x^{2}-2x-1} (v\geq 0)$ Khi đó,ta có:$2v-\sqrt[3]{u^{3}-6v}=-u\Leftrightarrow u^{3}-6v=(2v+u)^{3}\Leftrightarrow 8v^{3}+12v^{2}u+6u^{2}v+6v=0\Leftrightarrow v\left[v^{2} +3(u+v)^{2}+3v{} \right]=0\Leftrightarrow v =0\vee v=0\wedge u+v=0\Leftrightarrow v=0$$\Leftrightarrow x^{2}-2x-1=0\Leftrightarrow x=1\pm\sqrt{2}.$(Trường hợp còn lại loại do u=v=0 vô nghiệm)