Có phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:
$-x^2+2x+3=mx\Leftrightarrow x^2+(m-2)x-3=0(1)$
Phương trình $(1)$ có $ac=-3<0\Rightarrow (1)$ luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1;x_2\Rightarrow $ (P) và (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt (đpcm)
Có $x_1;x_2$ là 2 nghiệm của $(1)\Rightarrow x_1+x_2=2-m;x_1 \times x_2=-3$
Gọi $A(x_1;mx_1);B(x_2;mx_2)$ là giao điểm của d và (P)
Gọi $d'_{a}:y=ax+b$ là tiếp tuyến của (P) có hệ số góc $a$
Phương trình hoành độ điểm chung của $d'$ và (P) là:
$-x^2+2x+3=ax+b\Leftrightarrow x^2+(a-2)x+b-3=0(2)$
Có $P$ là hàm số bậc 2 nên $d'$ là tiếp tuyến của (P) $\Leftrightarrow (2)$ có nghiệm kép; nghiệm kép đó chính là hoành độ của tiếp điểm
Gọi hoành độ của tiếp điểm là $x_0$ thì $x_0$ chính là nghiệm kép của $(2)\Rightarrow x_0=\frac{2-a}{2}\Rightarrow a=2-2x_0$
$\Rightarrow $ hệ số góc của tiếp tuyến tại A là $2-2x_1;$ tại B là $2-2x_2$
Tiếp tuyến tại A vuông góc tiếp tuyến tại B $\Leftrightarrow (2-2x_1)(2-2x_2)=-1$
$\Leftrightarrow 4-2(x_1+x_2)+4x_1x_2=-1\Leftrightarrow 4-2(2-m)+4.(-3)=-1\Leftrightarrow m=\frac{13}{3}$
KL...........