\left\{ \begin{array}{l} (4x^{2}+1)x+(y-3)\sqrt{5-2y}=0 \text{ . } (1) \\ 4x^{2}+y^{2} +2\sqrt{3-4x}=7\text{ . } (2)\end{array} \right.Điều kiện: x \le \frac{3}{4};y \le \frac{5}{2}.
(1)\Leftrightarrow 2x[(2x^2)+1]=\sqrt{5-2y}[(5-2y)+1] (1')
Xét f(t)=t(t^2+1)=t^3+t,t \in \mathbb R, dễ thấy f(t) đồng biến trên \mathbb R. Do đó:
(1')\Leftrightarrow 2x=\sqrt{5-2y}
\Leftrightarrow \begin{cases}x \ge 0 \\ 4x^2=5-2y \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x \ge 0 \\ y=\frac{5-4x^2}{2} \end{cases}
Thay vào phương trình (2) của hệ, ta được:
4x^{2}+(\frac{5-4x^2}{2})^{2} +2\sqrt{3-4x}=7=g(x) (0 \le x \le \frac{3}{4})
Xét g(x),0 \le x \le \frac{3}{4} dễ thấy g(x) nghịch biến trên 0 \le x \le \frac{3}{4} nên PT g(x)=7 có không quá 1 nghiệm.
Mặt khác: g(\frac{1}{2})=7 nên PT g(x)=7 có nghiệm duy nhất là x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=2.