|
|
|
|
sửa đổi
|
Nhận dạng tam giác ABC
|
|
|
|
Ta có thể viết phương trình thành:$\Leftrightarrow sinA(2cosA+cosC)=sinB(2cosB+cosC)$$\Leftrightarrow sin2A+sinAcosC=sin2B+sinBcosC$$\Leftrightarrow sin2A-sin2B=cosC(sinB-sinA)$$\Leftrightarrow 2sin(A-B)cos(A+B)=cosC.2sin\frac{B-A}{2}cos\frac{B+A}{2}$$\Leftrightarrow -2cosCsin(A-B)+cosC.2cos\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}=0$$\Leftrightarrow 2cosC.sin\frac{A-B}{2}(cos\frac{A+B}{2}-cos\frac{A-B}{2})=0$Thấy rõ: $cos\frac{A+B}{2}-cos\frac{A-B}{2}<0$ (1) Do nếu $x<y$ mà ($0<x;y<\pi$) thì $cos x> cos y$. Ta lại có $\left| {\frac{A-B}{2}} \right|<\frac{A+B}{2}$ và $cos\frac{A-B}{2}=cos\frac{B-A}{2}$ (2) nên nếu $A-B>0$ ta dể dàng suy ra (1), nếu $A-B<0$ tức $B-A>0$ suy ra $cos\frac{B-A}{2}>\frac{A+B}{2}$ mà ta lại có (2) nên dể dàng suy ra (1)Suy ra: $\Rightarrow cosC=0$ hoặc $sin\frac{A-B}{2}=0$$\Leftrightarrow C=\frac{\pi }{2}$ hoặc $A=B$Vậy tam giác ABC vuông hoặc cân ở C
Ta có thể viết phương trình lại thành:$\sin A\left(2\cos A+\cos C\right)=\sin B\left(2\cos B+\cos C\right)\\\Leftrightarrow \sin2A+\sin A\cos C=\sin2B+\sin B\cos C\\\Leftrightarrow \sin2A-\sin2B=\cos C\left(\sin B-\sin A\right)\\\Leftrightarrow 2\sin(A-B)\cos(A+B)=\cos C\times2\sin\dfrac{B-A}{2}\cos\dfrac{B+A}{2}\\\Leftrightarrow -2\cos C\sin(A-B)+\cos C\times2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}=0\\\Leftrightarrow 2\cos C\sin\dfrac{A-B}{2}\left(\cos\frac{A+B}{2}-\cos\frac{A-B}{2}\right)=0$Thấy rõ: $\cos\frac{A+B}{2}-\cos\frac{A-B}{2}<0\,\,(1)$ Do nếu $x \cos y$. Ta lại có $\left| {\frac{A-B}{2}} \right|<\frac{A+B}{2}$ và $cos\frac{A-B}{2}=cos\frac{B-A}{2}\,\,(2)$ nên nếu $A-B>0$ ta dể dàng suy ra $(1),$ nếu $A-B<0$ tức $B-A>0$ suy ra $cos\frac{B-A}{2}>\frac{A+B}{2}$ mà ta lại có $(2)$ nên dể dàng suy ra $(1)$$\Rightarrow \left[\begin{array}{1}\cos C=0 \\\sin\dfrac{A-B}{2}=0 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{1}C=\dfrac{\pi}{2} \\A=B \end{array}\right.$Vậy: $\Delta ABC$ vuông hoặc cân ở $C.$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Hệ phương trình.
|
|
|
|
Hệ phương trình. Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}x^2+y^2+2=xy+5y \\x^2y+3x^2-2xy^2+y^3=19y-6 \end{cases}$
Hệ phương trình. Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}x^2+y^2+2=xy+5y \\x^2y+3x^2-2xy^2+y^3=19y-6 \end{cases}$ $
|
|
|
|
sửa đổi
|
Nhận dạng tam giác thỏa yêu cầu bài toán.
|
|
|
|
Nhận dạng tam giác thỏa yêu cầu bài toán. Nhận dạng $\Delta ABC$ biết: $\dfrac{2\cos A+\cos C}{2\cos B+\cos C}=\dfrac{\sin B}{\sin C}.$
Nhận dạng tam giác thỏa yêu cầu bài toán. Nhận dạng $\Delta ABC$ biết: $ $\dfrac{2\cos A+\cos C}{2\cos B+\cos C}=\dfrac{\sin B}{\sin C}. $$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Bất đẳng thức lượng giác.
|
|
|
|
Chứng minh trong tam giác ABC thì: $a^{2}(1-\sqrt{3}CotA) +b^{2}(1-\sqrt{3}cotB)+ c^{3}(1-\sqrt{3}CotC)\geq 0$Chứng minh trong tam giác ABC thì:$a^ {2 }(1-\sqrt{3} CotA) +b^ {2 }(1-\sqrt{3}cotB)+ c^ {3 }(1-\sqrt{3} CotC)\geq 0$
Bất đẳng th ức lượng giác .Chứng minh trong tam giác ABC thì:$ $a^2 \left(1-\sqrt{3} \cot A \right) +b^2 \left(1-\sqrt{3} \cot B \right)+ c^3 \left(1-\sqrt{3} \cot C \right)\geq 0$ $
|
|
|
|
sửa đổi
|
Nhận dạng tam giác thỏa yêu cầu bài toán.
|
|
|
|
Nhận dạng $\Delta ABC$ bi ết : $\dfra c{2\cos A+\cos C}{2\cos B+\c os C}=\dfrac{\si n B}{\sin C}. $Nhận dạng $\Delta ABC$ biết: $\dfrac{2\cos A+\cos C}{2\cos B+\cos C}=\dfrac{\sin B}{\sin C}.$
Nhận dạng ta m gi ác t hỏa yêu c ầu bài toán. Nhận dạng $\Delta ABC$ biết: $\dfrac{2\cos A+\cos C}{2\cos B+\cos C}=\dfrac{\sin B}{\sin C}.$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Phương trình lượng giác.
|
|
|
|
$pt \Leftrightarrow cos6x+cos4x=\frac{\sqrt3}{2}.cos2x+\frac{1}{2}sin2 x+\frac{\sqrt3}{2} $$\Leftrightarrow 2.cos5x.cosx=cos(2x-\frac{\pi}{6})+cos\frac{\pi}{6}$$\Leftrightarrow 2.cos5x.cosx=2.cosx.cos(x-\frac{\pi}{6})$$+) cosx=0 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k2\pi$$+) cos5x=cos(x-\frac{\pi}2)$Đến đây có thể tự giải rồi
$pt \Leftrightarrow \cos6x+\cos4x=\dfrac{\sqrt3}{2}\cos2x+\dfrac{1}{2}\sin2 x+\frac{\sqrt3}{2}\\\Leftrightarrow 2\cos5x\cos x=\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)+\cos\dfrac{\pi}{6}\\\Leftrightarrow 2\cos5x\cos x=2\cos x\cos \left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\\\Leftrightarrow \left[\begin{array}{1}\cos x=0 \\\cos5x=\cos\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right) \end{array}\right.$Đến đây có thể tự giải rồi.
|
|
|
|
sửa đổi
|
Phương trình lượng giác.
|
|
|
|
$PT \Leftrightarrow (1+4sinx+4sin^2x).cosx=1+sinx+cosx$$\Leftrightarrow cosx+4sinxcosx+4sin^2x.cosx=1+sinx+cosx$$\Leftrightarrow 4sinxcosx(1+sinx)=1+sinx$$\Leftrightarrow (1+sinx)(4sinxcosx-1)=0$$\Leftrightarrow 1+sinx=0$ Hoặc $4sinxcosx=1 $Đến đây bạn tự giải ra nghiệm x được rồi
$PT \Leftrightarrow \left(1+4\sin x+4\sin^2x\right)\cos x=1+\sin x+\cos x\\\Leftrightarrow \cos x+4\sin x\cos x+4\sin^2x\cos x=1+\sin x+\cos x\\\Leftrightarrow 4\sin x\cos x\left(1+\sin x\right)=1+\sin x\\\Leftrightarrow \left(1+\sin x\right)\left(4\sin x\cos x-1\right)=0$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{1}1+\sin x=0 \\4\sin x\cos x=1 \end{array}\right.$Đến đây bạn tự giải ra nghiệm $x$ được rồi .
|
|
|
|
sửa đổi
|
Giá trị lớn nhất(tt).
|
|
|
|
Giá trị lớn nhất(tt). Cho $a+b+c\leq3.$ Tìm giá trị lớn nhất của: $$P=\dfrac{a+1+a\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b+1+b\sqrt{b^2+1}}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c+1+c\sqrt{c^2+1}}{\sqrt{c^2+1}}$$
Giá trị lớn nhất(tt). Cho $a+b+c\leq3.$ Tìm giá trị lớn nhất của: $$P=\dfrac{a+1+a\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b+1+b\sqrt{b^2+1}}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c+1+c\sqrt{c^2+1}}{\sqrt{c^2+1}}$$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Giá trị lớn nhất(tt).
|
|
|
|
Giá trị lớn nhất(tt). Cho $a+b+c\leq3.$ Tìm giá trị lớn nhất của: $$P=\dfrac{a+1+a\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b+1+b\sqrt{b^2+1}}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c+1+c\sqrt{c^2+1}}{\sqrt{c^2+1}}$$
Giá trị lớn nhất(tt). Cho $a+b+c\leq3.$ Tìm giá trị lớn nhất của: $$P=\dfrac{a+1+a\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b+1+b\sqrt{b^2+1}}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c+1+c\sqrt{c^2+1}}{\sqrt{c^2+1}}$$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Lượng giác.
|
|
|
|
Giải phương trình: $ x^{2}-3x+1 = -tan\frac{\pi }{6}\sqrt{x^{2}+x^{2}+1}$
$x^{2}-3x+1 = -tan\frac{\pi }{6}\sqrt{x^{2}+x^{2}+1}$
Lượng giác.
Giải phương trình: $$x^{2}-3x+1 = - \tan\ dfrac{\pi }{6}\sqrt{x^{2}+x^{2}+1}$ $
|
|
|
|
sửa đổi
|
Bất phương trình.
|
|
|
|
Bất phương trình. Giải bất phương trình sau:$$\sqrt{x^ {2 }+(1-\sqrt{3})x+2}+\sqrt{x^{2}+(1+\sqrt{3})x+2}\leqslant 3\sqrt{2}-\sqrt{x^{2}-2x+2}$$
Bất phương trình. Giải bất phương trình sau:$$\sqrt{x^2+ \left(1-\sqrt{3} \right)x+2}+\sqrt{x^{2}+(1+\sqrt{3})x+2}\leqslant 3\sqrt{2}-\sqrt{x^{2}-2x+2}$$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Bất phương trình.
|
|
|
|
$\sqrt{x^{2}+(1-\sqrt{3})x+2}+\sqrt{x^{2}+(1+\sqrt{3})x+2}\leqslant 3\sqrt{2}-\sqrt{x^{2}-2x+2}$
Giải bất phương trình sau:$\sqrt{x^{2}+(1-\sqrt{3})x+2}+\sqrt{x^{2}+(1+\sqrt{3})x+2}\leqslant 3\sqrt{2}-\sqrt{x^{2}-2x+2}$
Bất phương trình.
Giải bất phương trình sau:$$\sqrt{x^{2}+(1-\sqrt{3})x+2}+\sqrt{x^{2}+(1+\sqrt{3})x+2}\leqslant 3\sqrt{2}-\sqrt{x^{2}-2x+2}$$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Cực trị.
|
|
|
|
Bất đẳng t hức. Cho $a,\,b,\,c$ là ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $$S=\dfrac{a^3+b^3+c^3+15abc}{a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+a^2c+c^2a}$$
Cực t rị. Cho $a,\,b,\,c$ là ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $$S=\dfrac{a^3+b^3+c^3+15abc}{a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+a^2c+c^2a}$$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Hệ phương trình.
|
|
|
|
g jaj dum t o' vs
Giải hệ
phương trình sau trên R : x5 + y5 = 2x3 + 2y3 và 2x2
2y2 +3xy = 6
Hệ phương t rình.
Giải hệ
phương trình sau trên $\mathbb{R }$: $$\left\{ \begin{array}{l}x ^5 + y ^5 = 2x ^3 + 2y ^3 \\2x ^2 +2y ^2+3xy=6 \end{array} \right.$$
|
|