1) gọi $A= ${$0;1;2;3;4;5;6;7$} 

gọi STN cần lập là $\overline{abcd} $

vì $\overline{abcd} $ là số lẻ, $d\in A => d=1;3;5;7 =>$ có 4 cách chọn d

$a \in  A $  $|$ {0} => có 7 cách chọn a

$b,c \in A=>$ có 8 cách chọn b, 8 cách chọn c

vậy có $4.7.8.8 = 1792$ STN có 4 chữ số

gọi $\overline{abcd} $ là STN lẻ có 4 chữ số cần tìm

$\overline{abcd} $ là số lẻ, $d \in A => d = 1;3;5;7=>$ có 4 cách chọn d

$a \in A$ \ {$0,d$}  $=>$ có 6 cách chọn a

$b \in A$ \ {$a,d$} => có 6 cách chọn b

$c \in A$ \ {$a, b, d$} => có 5 cách chọn c

vậy có $4.6.6.5 = 720 $ STN thỏa mãn

vì a,b : 3 có số dư khác nhau nên $a = 3l+1, b = 3m +2(l,m \in Z)$

$a.b + 1 = (3l+1)(3m+2) + 1 = 9lm + 6l +3 m + 2 + 1 = 9lm +6l +3m + 3 = 3(3lm + 2l + m + 1)  \vdots  3  => dpcm$

từ pt (2) => $y^{2}$, sau đó thay vào pt (1). hệ số ac<0 => pt (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu. => hpt luôn có nghiệm

$SO = (SAC) \cap (SBD)$ (cái này tự cm được nhé)

gọi $I = A'C' \cap B'D'$

$I \in A'C', A'C' \subset (SAC) => I \in (SAC), I \in B'D', B'D' \subset (SBD)=>I \in(SBD)$

 $=> I \in (SAC) \cap (SBD) =>I \in SO$

$I \in SO, I \in A'C', I \in B'D' => dpcm$

Trong mp (SBC), $IP \cap BC = I$

trong mp (ABC) $HI \cap BC = i$

$=> dpcm$

xét 2 mp (ABC) và (BMN) ta có $B \in (ABC) \cap (BMN)$

giao tuyến là đường thẳng $\triangle $đi qua B và song song với AC, MN 

a) Ta có $MN// AB$ (tính chất của đường trung bình trong $\triangle $)

mà $AB//CD$ ($ABCD$ là hbh)

$=> MN//CD  (//AB)$

b) xét 2mp $(ADN)$ và$(SBC)$ có $N \in (ADN) \cap (SBC)$

trong $(ABCD) $gọi $E = AD \cap  BC$

Trong $(SBC)  gọi P = SC \cap  NE$

$P \in NE, NE \subset (ADN) => P \in (ADN)$

$P \in SC$

$=> P = SC \cap (ADN)$

Ta có

 $a^{2} + b^{2} = 5 + 4 = 9$

$c^{2} = 3^{2} = 9$

$=> a^{2} + b^{2} = c^{2}$

chia hai vế của pt cho $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ta được

$\frac{\sqrt{5}}{3}sin3x + \frac{2}{2}cos3x = 1$

đặt $\frac{\sqrt{5}}{3} = cos\alpha , \frac{2}{3} = sin\alpha$

$PT <=> sin3x.cos\alpha + cos3x.sin\alpha = 1$

$<=> sin(3x + \alpha) = 1$

$<=>3x + \alpha = \frac{\pi}{2} + k2\pi$

$<=> x =  \frac{-\alpha}{3} + \frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3}$

$0 \leqslant  \frac{-\alpha}{3} + \frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3} \leqslant  \frac{\pi}{2} <=> \frac{\alpha}{2\pi} - \frac{1}{4} \leqslant k \leqslant \frac{\alpha}{2\pi} + \frac{1}{2}$

kết hợp với $k \in Z$ ta được $k = 7$

Vậy $x \approx 1,77$

Xét $\triangle  ABC$, ta có

$=>$ dpcm