$I=\int\limits_{0}^{\frac{\Pi }{2}}e^{3x}\times\sin5xdx$

test

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Điều kiện: $\begin{cases}5x^2+14x+9 \geq 0 \\ x^2-x-20 \geq 0 \\  x+1 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}(x+1)(5x+9) \geq 0 \\ (x+4)(x-5) \geq 0 \\  x \geq -1 \end{cases}        (2)$
Ta có: $(1) \Leftrightarrow \sqrt{5x^2+14x+9}=\sqrt{x^2-x-20}+5\sqrt{1+x}       (3)$
Bình phương trình các vế của $(2)$ có $(3) \Leftrightarrow 2x^2-5x+2=5\sqrt{(x^2-x-20)(x+1)}$
$\Leftrightarrow 2x^2-5x+2=5\sqrt{(x+4)(x-5)(x+1)}     (4)$
$\Leftrightarrow 3(x+4)+2(x^2-4x-5)=5\sqrt{(x+4)(x^2-4x-5)}                  (5)$
* Với $x=5$ ta có $(5) \Leftrightarrow 27=0$  ( mâu thuẫn)
Phương trình không có nghiệm $x=5                                              (6)$
* Với $x>5$ đặt $\sqrt{x+5}=t\sqrt{x^2-4x-5}, t>0$, phương trình $(5)$ trở thành
$3(x^2-4x-5)t^2+2(x^2-4x-5)=5(x^2-4x-5)t \Leftrightarrow 3t^2-5t+2=0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t=1}\\ {t=\frac{2}{3}} \end{array}} \right.$ ( thích hợp)
+ Với $t=1$, có $x+4=x^2-4x-5 \Leftrightarrow x^2-5x-9=0 \Leftrightarrow x=\frac{5 \pm \sqrt{61}}{2}    (7)$
Từ $(2),(7)$ suy ra $x=\frac{5 \pm \sqrt{61}}{2}                                        (8)$
+ Với $t=\frac{2}{3}$, có $x+4=\frac{4}{9}(x^2-4x-5) \Leftrightarrow 4x^2-25x-56=0 \Leftrightarrow \left\{ {x=8;x=-\frac{7}{4}} \right\}             (9)$
Từ $(2),(8)$ suy ra $x=8                           (10)$
Từ các kết quả $(6),(8),(10)$ kết luận tập hợp của phương trình đã cho là:
          $\left\{ {\frac{5 \pm \sqrt{61}}{2}; x=8  } \right\}$

đáp án bạn tham khảo tại :
http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/121806/giai-phuong-trinh-nay-dum-minh-dung-giai-tat-qua-nha/22420#22420

$a)$
Xét hình bình hành $BDD'B'$ có  $B'D' // BD \Rightarrow B'D' //(A'BD)$
Xét hình bình hành $A'B'CD$ có  $B'C // A'D \Rightarrow B'C //(A'BD)$
 Từ hai điều này suy ra $(B'CD') // (A'BD)$.

Đáp án bạn tham khảo tại : http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/121888/nguyen-ham

câu $b)       N = \int\limits \frac{xdx}{x^4-3x^2+2}$
Ta có :   $\frac{2x}{x^4 + 3x^2 + 2} =  \frac{2x}{(x^2-1)(x^2-2)} = \frac{2x}{x^2-2} - \frac{2x}{x^2-1}$
Do đó:   $2N = \int\limits \frac{2xdx}{x^4 -3x^2 +2}dx = \ln |(x^2-2)|-\ln |x^2-1| + C$
          $\Leftrightarrow  N= \frac{1}{2} \ln \left| {\frac{x^2-2}{x^2-1}} \right| +C.$

Vân dụng bất đẳng thức Bunhiacốpki, ta có:
$\begin{array}{l} {\left( {\sqrt {p - a}  + \sqrt {p - b}  + \sqrt {p - c} } \right)^2} \le 3\left( {p - a + p - b + p - c} \right) = 3p\\  \Rightarrow \sqrt {p - a}  + \sqrt {p - b}  + \sqrt {p - c}  \le \sqrt {3p} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \end{array}$
Mặt khác ta lại có:
$\begin{array}{l} {\left( {\sqrt {p - a}  + \sqrt {p - b}  + \sqrt {p - c} } \right)^2} \ge {\left( {\sqrt {p - a} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {p - b} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {p - c} } \right)^2}\\  = \left( {p - a} \right) + \left( {p - b} \right) + \left( {p - c} \right) = p\\  \Rightarrow \sqrt {p - a}  + \sqrt {p - b}  + \sqrt {p - c}  > \sqrt p \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \end{array}$
Từ (1) và (2)  $\Rightarrow$  đpcm

Phân tích:$\sin 2x-2\sin x=2\sin x(\cos x-1)$
$=2\sin^2 x(\cos x-1)\frac{1}{\sin x}=\frac{2(1-\cos^2 x)(\cos x-1) }{\sin x}$
Do đó:
$I=\frac{1}{2}\int\limits \frac{\sin xdx}{(1- \cos^2 x)(\cos x-1)}=\frac{1}{2}\int\limits \frac{d(\cos x)}{(\cos x-1)^2(\cos x+1)}$
Xét hàm dưới dấu tích phân:
$\frac{1}{(\cos x-1)^2(\cos +1)}\equiv \frac{a}{\cos x-1 } +\frac{b}{(\cos x-1)^2} +\frac{c}{\cos x+1}$
$\frac{1}{(\cos x -1)^2(\cos x+1)}\equiv \frac{a(\cos^2 x-1)+b(\cos x+1)+c(\cos x -1)^2}{(\cos x -1)^2(\cos x+1)}$
$\Rightarrow 1\equiv (a+c)\cos^2 x+(b-2c)\cos x+(b+c-a)$ (*)
Đồng nhất 2 vế của (*)  $\left\{ \begin{array}{l}  a+c=0 \\ b-2c=0 \\ b+c-a=1 \end{array} \right.      \Rightarrow a=-\frac{1}{4};b=\frac{1}{2} ;c=\frac{1}{4}$
                                           

Khi đó :$I=\frac{1}{2}\int\limits [\frac{-1}{4(\cos x-1)}+\frac{1}{2(\cos x-1)^2}+\frac{1}{4(\cos x+1) }  ]d(\cos x)$
$I=-\frac{1}{8}\ln|\cos x-1|-\frac{1}{4(\cos x-1)}+\frac{1}{8}\ln|\cos x+1|+ C$
 $I=\frac{1}{8}\ln|\frac{1+\cos x}{1-\cos x}|+\frac{1}{8\sin^2 \frac{x}{2} }+C$         
$I=\frac{1}{8}\ln\cot^2 \frac{x}{2}+\frac{1}{8\sin^2 \frac{x}{2} }+C$       

Đăt  $t={\sqrt[3]{1+x^2}} \Rightarrow  t^3=x^2+1 \Rightarrow   x^2=t^3-1$;  $3t^2dt=2xdx$
Vậy : $I=\frac{3}{2}\int\limits (t^3-1)t^3dt=\frac{3}{2}\int\limits (t^6-t^3)dt$
$I=\frac{3t^7}{14}-\frac{3t^4}{8}+C=\frac{3{\sqrt[3]{(1+x^2)^7}}}{14}-\frac{3{\sqrt[3]{(1+x^2)^4}}}{8}+C  (ycbt)$

$\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} - x - 1} }}}  = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} - \frac{5}{4}} }}}  = \ln |x - \frac{1}{2} + \sqrt {{x^2} - x - 1} | + C$